１９９６年，コンウェイとシュニーバーガーは正定値ｎ元２次形式（変数ｎの数は任意とする）が１から１５までのすべての整数を表せば，それがすべての正の整数を表すことを示した（１５の定理）．

　もっと限定していえば

　　１，２，３，５，６，７，１０，１４，１５

の９つの数を表現するならば，すべての正の整数を表現するという定理である．

　１５の定理は２９０予想のbest-possibleな解決であると思っていたのであるが，２９０予想は（予想ではなく）れっきとした定理である．

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【１】ｎ元２次形式による整数の表現と２９０定理

　正定値ｎ元２次形式（変数ｎの数は任意とする）において，

　　１，２，３，５，６，７，１０，１３，１４，１５

　　１７，１９，２１，２２，２３，２６，２９，３０，３１

　　３４，３５，３７，４２，５８，９３，１１０，１４５，２０３，２９０

の２９個の数を表現するならば，すべての正の整数を表現するというのが２９０定理である．

　５変数２次形式，たとえば，

　　ａ^2＋２ｂ^2＋５ｃ^2＋５ｄ^2＋１５ｅ^2

はどの整数も表すことができるが，

　　２ａ^2＋ａｂ＋４ｂ^2＋ｂｃ＋ｃ^2＋２９ｄ^2＋２９ｄｅ＋２９ｅ^2

は２９０だけを表すことができない．

　普遍的な３変数２次形式は存在しない．たとえば，

　　ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ^2＋２ｙ^2＋ｙｚ＋４ｚ^2

は１から３０までの整数をすべて表すが，３１を表すことはできない．他の３元２次形式はこんなにうまい具合にはなっておらず，３１以下の整数の中のどれかを表すことができないのである．

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　１５定理の行列表現は，たとえば，

　　［１，０，０，０］

Ｍ＝［０，２，０，０］

　　［０，０，５，０］

　　［０，０，０，５］

のように行列の成分がすべて整数であるが，条件を少し緩めて，２次形式の係数がすべて整数であればよいという条件に変える．すると，

Ｍ＝［１，１／２］

　　［１／２，１］→ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2も扱えるようになる．

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【２】１５定理の素数版

　コンウェイの「１５定理」はある２次形式が１から１５までの数を表現できるならば，それはすべての自然数を表現できることを示した．

　その素数版の定理がある．ある２次形式が７３までの素数を表現できるならば，それはすべての素数を表現できる（バールガバ）．

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