１７世紀になってイギリスのニュートン，ドイツのライプニッツによる微分積分学の確立以降は，収束する無限級数を使ってπの計算がなされました．今回のコラムではａｒｃｔａｎ（ｘ）のテイラー展開公式
ａｒｃｔａｎ（ｘ）＝ｘ−ｘ^3／３＋ｘ^5／５−ｘ^7／７＋・・・
を用いたπの級数公式を紹介します．
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【１】グレゴリー・ライプニッツ級数
πと関連をもつ無限級数として最初に発見されたものは，１６７１年に発見されたグレゴリー・ライプニッツ級数
π／４＝ａｒｃｔａｎ１
＝１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・
＝Σ（−１）^(n-1)・１／（２ｎ＋１）
があげられます．ライプニッツはπ／４がすべての奇数の逆数を交互に加えたり引いたりしてえられる無限級数の和に一致するという事実に対して「神は奇数で楽しむ」と書いていて，この式に自然の神秘の深遠さを感じ，外交官への道から数学の研究の道に転じたといわれています．
ａｒｃｔａｎ１＝π／４を利用したこの展開公式は簡単な形の式ですが，ゆっくりとしか収束しないので，２０項まで計算しても３．０４２までしか求まらないし，３．１４まで一致するのに３００項も必要です．第ｎ項まで計算したときの誤差は大体１／（２ｎ＋３）になり，１０００項まで計算してもせいぜい３桁ぐらいです．したがって，グレゴリー・ライプニッツ級数はπの近似値を求めるのには実用的ではありません．
［補］グレゴリー・ライプニッツ級数：１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・は
（１＋１／３）^-1・（１−１／５）^-1・（１＋１／７）^-1・（１−１／１１）^-1・（１＋１／１３）^-1・・・
というように素数についての積の形に書き直すことができます．
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【２】オイラー級数
グレゴリー・ライプニッツ級数は項数をのばすごとにπの上下の限界を示しうるものですが，収束の緩慢な点が致命的でした．そこで，オイラーは，公式
ａｒｃｔａｎａ＋ａｒｃｔａｎｂ＝ａｒｃｔａｎ（（ａ＋ｂ）／（１−ａｂ））
を使ってグレゴリー・ライプニッツ級数よりもっと速く収束する次のような無限級数を作っています（１７３７年）．
ａｒｃｔａｎ１＝ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＋ａｒｃｔａｎ（１／ｍ）
を満足させるｎ，ｍを求めてみると
１＝（１／ｎ＋１／ｍ）／（１−１／ｎｍ）
ｍ＝（ｎ＋１）／（ｎ−１）
ｎ＝２，ｍ＝３を代入すると
ａｒｃｔａｎ（１／１）＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）
は傾き１／２と１／３の坂の角度が傾き１／１すなわとちょうど４５°になることを示しています．
π／４＝ａｒｃｔａｎ１
＝ａｒｃｔａｎ（１／２）＋ａｒｃｔａｎ（１／３）
＝（１／２−１／３・２^3＋１／５・２^5−１／７・２^7＋・・・） ＋（１／３−１／３・３^3＋１／５・３^5−１／７・３^7＋・・・）
この級数はグレゴリー・ライプニッツ級数ほどは悪くありませんが，それでもなお良い値がでるまでの計算回数は多くなります．
［補］オイラーは
ａｒｃｔａｎ（１／１）＝２ａｒｃｔａｎ（１／３）＋ａｒｃｔａｎ（１／７）
ａｒｃｔａｎ（１／１）＝５ａｒｃｔａｎ（１／７）＋２ａｒｃｔａｎ（１／１８）−２ａｒｃｔａｎ（１／５７）
なども発見しています．
なお，オイラー級数Σ１／ｎ^sの収束の精度も良くありません．オイラーの第１級数：１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６を使って，π^2／６を小数点以下７桁まで正確に求めるためには，だいたい１０００万項までの計算が必要になります．
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【３】マーチン級数
πを計算するための無限級数のうちでもっともポピュラーなものはニュートンと同時代のマーチンによって発見された次のような式です（１７０６年）．
π／４＝４ａｒｃｔａｎ（１／５）−ａｒｃｔａｎ（１／２３９）
＝４（１／５−１／３・５^3＋１／５・５^5−１／７・５^7＋・・・） −（１／２３９−１／３・２３９^3＋１／５・２３９^5−・・・）
第２項の級数は非常に収束が速く，第１項の級数も１／５^2＝０．０４ぐらいの比で次々に小さくなりますから，数値計算に十分使えます．マーチンの級数の計算誤差は４／（２ｎ＋３）・（１／５）^2n+3ぐらいで，マーチン自身はこの公式のよってπの値を１００桁ほど求めました．計算機のない時代のことですから，当然手計算であって神業ともいうべき話です．
この種のａｒｃｔａｎ（ｘ）の展開公式はかなり多く知られていて，分数を組み合わせて１をつくるパズルのようなものですが，項数が少なく分母が大きいものほど有効です．その計算量は本質的にはＯ（ｎ^2）になります．
マーチンの級数はａｒｃｔａｎを２つ使ってπを表現する公式の中で最良のものです．マーチンの級数は収束が極めて急速で，コンピュータの時代に移った後もたくさんの人に利用され，はじめてコンピュータを用いてπの値を計算したノイマンはマーチンの公式を使って７０時間かかって２０３７桁まで正しい値を求めています（１９４９年）．
［補］ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項まで使って，πを表現する方法はステルマーの定理より次の５つしかありません．
π＝４ａｒｃｔａｎ（１／１）
π＝４ａｒｃｔａｎ（１／２）＋４ａｒｃｔａｎ（１／３）
π＝８ａｒｃｔａｎ（１／２）−４ａｒｃｔａｎ（１／７）
π＝８ａｒｃｔａｎ（１／３）＋４ａｒｃｔａｎ（１／７）
π＝１６ａｒｃｔａｎ（１／５）−４ａｒｃｔａｎ（１／２３９）
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【４】ステルマーの定理
ここでは，任意のａｒｃｔａｎ（１／ｎ）を２項に分解することを考えてみます．
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／ｐ）＋ａｒｃｔａｎ（１／ｑ）
公式
ａｒｃｔａｎａ＋ａｒｃｔａｎｂ＝ａｒｃｔａｎ（（ａ＋ｂ）／（１−ａｂ））
を使うと，
１／ｎ＝（１／ｐ＋１／ｑ）／（１−１／ｐｑ）
ｎ＝（ｐｑ−１）／（ｐ＋ｑ）
ｑ＝（ｎｐ＋１）／（ｐ−ｎ）
ここで，ｐ＝ｎ＋ｍとおくと
ｑ＝ｎ＋（ｎ^2＋１）／ｍ
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（ｍ／（ｎ^2＋ｍｎ＋１））
したがって，ｎ^2＋１＝ｋｍなるｋが存在するならばｑは整数になることがわかります．
ｎ^2＋１の最大素因数ｐが２ｎ以上となる正整数ｎをステルマー数と呼びます．ｎ＝３のとき，３^2＋１＝１０＝２・５→ｐ＝５ですから，３はステルマー数ではありません．同様に，
ｎ＝７ ７^2＋１＝５０＝２・５^2 → ｐ＝５
ｎ＝１８ １８^2＋１＝３２５＝５^2・１３→ｐ＝１３
ｎ＝５７ ５７^2＋１＝３２５０→ｐ＝２・５^3・１３→ｐ＝１３
ｎ＝２３９ ２３９^2＋１＝２・１３^4→ｐ＝１３
もステルマー数ではありません．
一方，ｎ＝２のとき，２^2＋１＝５→ｐ＝５ですから，２はステルマー数です．最初の３０個のステルマー数は，
ｎ＝１，２，４，５，６，９，１０，１１，１２，１４，１５，１６，１９，２０，２２，２３，２４，２５，２６，２７，２８，２９，３３，３４，３５，３６，３７，３９，４０，４２
ｎ^2＋１＝ｋｍのときだけ
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｋ））が成り立つのですが，ステルマーはどんなａｒｃｔａｎ（ｘ）もｎがステルマー数になっているａｒｃｔａｎ（１／ｎ）の和として一意に表されることを発見しました．
［補］ｍ＝ｎ^2＋１のとき，
ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝Σａｒｃｔａｎ１／｛（ｎ^2＋１）ｋ^2−（ｎ−１）^2ｋ−（ｎ−１）｝
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