このシリーズの対称性についてまとめておきたい．

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【１】すべての数字を含む排他的数列

　１から８までのすべての数字を含む排他的数列

｛ａn｝＝｛１，４，５，８｝

｛ｂn｝＝｛２，３，６，７｝

　　２＋３＋５＋８＝１＋４＋６＋７＝１８

では２乗和まで等しい．両側を含めた項数は８／８である．

　１から１６までのすべての数字を含む排他的数列

　｛ａn｝＝｛１，４，６，７，１０，１１，１３，１６｝

　｛ｂn｝＝｛２，３，５，８，９，１２，１４，１５｝

　１＋４＋６＋７＋１０＋１１＋１３＋１６＝２＋３＋５＋８＋９＋１２＋１４＋１５＝６８

では３乗和まで等しい．両側を含めた項数は１６／１６である．

　この例において

［１］８対｛１，２｝，・・・，｛１５，１６｝で考えると一方が｛ａn｝に，他方が｛ｂn｝にはいる．

［２］｛ａn｝，｛ｂn｝にはそれぞれ８つの偶数，４つの奇数が属しています．

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【２】間引かれた排他的数列

　１＋５＋８＋１２＝２＋３＋１０＋１１

では３乗和まで等しい．両側を含めた項数は８／１２である．

　｛ｃn｝＝｛−，０，−，＋，０，＋｝

　｛ｄn｝＝｛＋，−，０，０，＋，−｝

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　１＋６＋７＋８＋１４＋１５＝２＋３＋９＋１０＋１１＋１６

では４乗和まで等しい．両側を含めた項数は１２／１６である．

［１］８対｛１，２｝，・・・，｛１５，１６｝で考えると一方が｛ｃn｝に，他方が｛ｄn｝にはいっていない．

［２］｛ｃn｝，｛ｄn｝にはそれぞれ３つの偶数，３つの奇数が属している．

［３］削除された偶数の数と奇数の数は等しい．

　｛ｃn｝＝｛−，０，＋， +/-，　　，０，＋，−｝

　｛ｄn｝＝｛＋，−，０，　　， +/-，−，０，＋｝

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　１^0＋１３^0＋２８^0＋７０^0＋８２^0＋１２４^0＋１３９^0＋１５１^0

＝４^0＋７^0＋３４^0＋６１^0＋９１^0＋１１８^0＋１４５^0＋１４８^0　　

では７乗和まで等しい．両側を含めた項数は１６／１５２である．

　−は奇数，＋は偶数になるが，

｛ａn｝＝｛−，０，０，−，＋，０，０，＋，＋，０，０，＋，−，０，０，−｝

｛ｂn｝＝｛０，＋，−，０，０，＋，−，０，０，−，＋，０，０，−，＋，０｝

｛ａn｝，｛ｂn｝にはそれぞれ４つの偶数，４つの奇数が属している．

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【３】まとめ

　ｋ乗和まで等しい２つの数列はそれぞれ同数の偶数，奇数を含む対称的な数列である．それをｋ＋１乗和まで，ｋ＋２乗和まで・・・と拡張させることができる．自由度が高い（間引かれている）ほどｋを大きくすることができる．

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