今回のコラムでは，平面幾何学からいくつかのおもしろい定理を紹介する．

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【１】デカルトの４円定理

　デカルトの４円定理とは，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2

です．

　　（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ4）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ4^2）

　デカルトの円定理より，三角形ＡＢＣにおいてＡ，Ｂ，Ｃを中心としてそれぞれ半径

　　ｒ1＝（−ａ＋ｂ＋ｃ）／２，ｒ2＝（ａ−ｂ＋ｃ）／２，ｒ3＝（ａ＋ｂ−ｃ）／２

の円を描くとそれらは互いに外接することがわかります．

（Ｑ）互いに外接する３個の円（半径ｒ1，ｒ2，ｒ3）がある．これらすべてに外接する円の半径ｒを求めよ．

（Ａ）ｒ＝ｒ1ｒ2ｒ3／｛ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1＋２√ｒ1ｒ2ｒ3（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）｝＝１／｛１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋２√（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）｝

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　相異なる２つの球面Ｓ1，Ｓ2の中心をｘ1，ｘ2，半径をｒ1，ｒ2とするとき，Ｓ1，Ｓ2が接するための必要十分条件は

　　｜ｘ1−ｘ2｜＝｜ｒ1±ｒ2｜

となることである．±は外接か内接かに対応している．

　一般にＲ^n内の互いに接するｎ＋２個の球面の系があるとする．このとき，接点がすべて異なるならばこれらｎ＋２個の球面はすべて外接するか，または，ある球面が他のｎ＋１個の球面を含むことになる．このような互いに接するｎ＋２個の球面の系については，球面の半径の逆数に関する単純な等式がある．

　　（Σ１／ｒi）^2＝ｎΣ（１／ｒi）^2

　ただし，Ｓjが他の球面をすべて含むときはｒj＝−（Ｓjの半径）とする．このようにすることで，接する２つの球面間の距離が常に｜ｘi−ｘj｜＝｜ｒi＋ｒj｜で表される．

　ｎ＝２の場合，互いに外接する４個の円の半径の逆数の間の等式

　　（Σ１／ｒi）^2＝２Σ（１／ｒi）^2

が成立し

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

１／ｒ^2＋２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）＋（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

１／ｒ^2−２／ｒ（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3）−（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）＋２（１／ｒ1ｒ2＋１／ｒ2ｒ3＋１／ｒ3ｒ1）＝０

　この２次方程式を整理すると（Ａ）と同じ式が得られる（デカルトの円定理）．ｎ＝２，３の場合は和算家達によっても得られていた（デカルトの円定理の拡張）．

（Ｑ）与えられた円（半径Ｒ）の内部に互いに外接する３個の等円（半径ｒ）があるとき，ｒを求めよ．

（Ａ）この場合は

（１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3＋１／ｒ）^2＝２（１／ｒ1^2＋１／ｒ2^2＋１／ｒ3^2＋１／ｒ^2）

において，ｒ1＝ｒ2＝ｒ3＝ｒ，ｒ＝−Ｒとする．　→　ｒ＝（２√３−３）Ｒ

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【２】ビークロフトの定理

　「４つの円が互いに接している場合，それら４つの円と接点を共有する互いに接する別の４つの円が存在する．」

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【３】５円定理

　「あるひとつの円周Ｃ上に中心をもつ５つの円を５円のそれぞれが隣の円とＣ上に交点をもつようにして描く．５つの円は同じ大きさである必要はない．このとき，もう一つの交点を結ぶと星形五角形となり，その頂点は５つの円周上にある．」

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【４】バンコフのプロペラ定理

　頂点が１点で会している３つの合同な正三角形がある（これらは接してもよいし，重なってもよい）．このとき，隣接する正三角形の１点で会合していない頂点同士を結ぶ．このとき，３本の線分の中点はひとつの正三角形の頂点となる．

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【５】プロペラ定理の一般化

　３つの正三角形は合同である必要はなく，どんな大きさであっても定理が成り立つ．また，正三角形である必要もなく，１点で会する任意の大きさの相似三角形であればよい．このとき，３本の線分の中点はひとつの相似三角形を形作る．

　さらに，１点で会する必要もなく，３つの相似三角形が任意の大きさの４番目の相似三角形の各頂点で会すればよい．

［補］２つの任意の大きさの正方形が１つの頂点で会しているとき，それぞれの正方形の１対の頂点を結ぶ線分の中点と正方形の中心の４点は別の正方形を形作る．

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