「正多面体に内接する最大の別の多面体は何か」という問題では５種類の正多面体の組み合わせは全部で２０通りあります．立方体に内接する最大の正八面体の解答はいささか意外な結果になりますが，今回のコラムでは正四面体の最大内接立方体と立方体の最大内接正四面体について調べてみます．

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（Ｑ１）正四面体に立方体を内接させる問題を考えます．正方形の８つの頂点は正四面体の面上にあり，４つの頂点は正四面体の底面に，２つの頂点は斜面に，あとの２つの頂点はそれぞれ斜面の上にあるものとします．

（Ａ１）正四面体の面上に立方体の１面と１辺と２頂点が接する配置ですが，このとき，正四面体に内接する最大の立方体が得られます．その場合の体積比の計算方法ですが，立方体の上面を延長した正三角形の断面を考えると（Ｑ１）と同じ状況が現れます．

　正四面体の１辺の長さを１とし，立方体の上面を延長させた面が正四面体の斜辺をｙ：１−ｙに内分するとき

　　（２√３−３）ｙ＝（１−ｙ）ｓｉｎ６０°・ｓｉｎδ

　ここでδは正四面体の二面角で，ｃｏｓδ＝１／３ですから，

　　ｓｉｎδ＝２√２／３

したがって，

　　（２√３−３）ｙ＝（１−ｙ）（３／２）^1/2

　　ｙ＝√２／（６−３√３＋√２）

　立方体の１辺の長さは

　　（２√３−３）ｙ＝６／（６＋４√３＋３√６）＝0.295907

ですから，求める体積比は

　　｛６／（６＋４√３＋３√６）｝^3・１２／√２＝0.219852

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（Ｑ２）立方体にはいる最大の正四面体は？

（Ａ２）立方体の上面に１本の対角線を引きます．下面には上面の対角線と直交する向きの対角線を引きます．この４頂点を選べば驚くほど単純な正四面体が得られます．

　正四面体の辺が立方体の対角線になるように配置すると立方体に正四面体を内接させることができることは最初ケプラーにより指摘されたので，ケプラー四面体と呼ばれます．正六面体の４個の頂点を結ぶと，正六面体の中に正四面体ができますから，この正四面体の体積はもとの正六面体の１／３であることは簡単にわかります，

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（Ｑ３）立方体にはいる最大の正八面体は？

　立方体に内接する正八面体の場合，立方体の各面に２本ずつ対角線を引き，６個の対角線の交点を選べば正八面体が得られます．この正八面体は立方体に内接する２つのケプラー四面体の積集合になっています．なお，積集合ではなく和集合はケプラーの八角星と呼ばれます．正四面体の６個の辺の中点を結ぶと，正四面体の中に正八面体ができますから，この正八面体の体積はもとの正四面体の１／２であることは簡単にわかります．したがって，正八面体の体積はもとの立方体の１／６となります．

　しかし，これは立方体に内接する最大の正八面体ではありません．解答はいささか意外な結果になります．

（Ａ３）ここでは，立方体に内接する最大の正八面体の作り方を記しますが，立方体の頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとります．その頂点の対蹠頂点からでる３本の辺を３：１に内分する３点をとり，この６点を選べば立方体に内接する最大の正八面体が得られます．

　　（３√２／４）^3√２／３＝９／１６＝0.5625

最小（０．１６７）であった正八面体が正２０面体の０．５１５を超え，最大（０．５６２５）になるのです．

　　［参］コラム「立方体に内接する最大の正多面体」

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