連分数とは，

　　ａ1／（ｂ1＋ａ2／（ｂ2＋ａ3／（ｂ3＋ａ4／（ｂ4＋ａ5／ｂ5＋・・・）

のような分数を続けた式で，実用上は最初にａ0＋をつけた形が使われます．整数論で使われる連分数は普通，ａk＝１，ｂkが正の整数である標準連分数です．

　連分数の第ｎ近似分数ｗnは

　　ｐ-1＝１，ｐ0＝０，ｐk＝ａkｐk-2＋ｂkｐk-1

　　ｑ-1＝０，ｑ0＝１，ｑk＝ａkｑk-2＋ｂkｑk-1　　　(k=1,2,･･･)

をつくると，ｗn＝ｐn／ｑnとして計算できます．ｗnの値だけが必要ならば，除法は最後の１回だけで済むとうわけです．そして，標準連分数はすべて収束し，その際，近似分数列｛ｗn｝は振動しつつ，交互に上下から収束する形になります．

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　上で述べたことを標準連分数の場合に書き換えますと，

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn］＝Ｐn／Ｑn

　　Ｐ0＝１，Ｐ1＝ｑ1，Ｐn＝ｑnＰn-1＋Ｐn-2

　　Ｑ0＝０，Ｑ1＝１ ，Ｑn＝ｑnＱn-1＋Ｑn-2　　　(n=2,3,･･･)

で

　　ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n　　　(n=1,2,･･･)

　　ＰnＱn-2−Ｐn-2Ｑn＝（−１）^n-1ｑn　　　(n=2,3,･･･)

が成り立ちます．

　また，

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，ｑn，ｑn+1，・・・］

の部分列［ｑn，ｑn+1，・・・］に対して

　　αn＝［ｑn，ｑn+1，・・・］

なる実数αnを定めると

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，αn］

　　　＝（αnＰn-1＋Ｐn-2）／（αnＱn-1＋Ｑn-2）

が証明されます．

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　また，

　　π／４＝１／／１＋１／／３＋４／／５＋９／／７＋１６／９＋・・・

＝１／／１＋Φｋ^2／／（２ｋ＋１））＋・・・

と，

　　π／４＝１／｛１＋１^2／｛２＋３^2／｛２＋５^2／｛２＋７^2／｛２＋９^2／｛２＋・・・｝

が整合しているかどうかも怪しい．本日は時間切れにて，次回の宿題としたい．

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