【１】ｅに収束する分数列

　　ａn+1＝（４ｎ＋２）ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（４ｎ＋２）ｂn＋ｂn-1

初期値をａ0＝１，ａ1＝３，ａ2＝１９，ｂ0＝１，ｂ1＝１，ｂ2＝７とすると

　　ａn／ｂn→　ｅ

となります．

　　ｅ＝１＋ｘ＋ｘ^2／２＋ｘ^3／６＋・・・

を連分数表示して，

　　ｅ＝１／／１−ｘ／／１＋ｘ／／２−ｘ／／３＋ｘ／／２−ｘ／／５＋ｘ／／２−ｘ／／７＋・・・

　ｘ＝１とすれば，逐次近似分数は

　　1/1,1/0,3/1,8/3,19/7,87/32,193/71,1264/465,2721/1001,・・・

なのですが，ここで，−ｘ／／１＋ｘ／／２，−ｘ／／３＋ｘ／／２，−ｘ／／５＋ｘ／／２のように，２項ずつまとめれば

　　ｅ＝１／／１＋１／／２＋１／／６＋１／／１０＋１／／１４＋・・・

＝１／／１＋Φ１／／（４ｋ−２））＋・・・

となって，大変よい近似

　　19/7,193/71,2721/1001,49171/18089,･･･

を得ることができるというわけです．

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【２】πに収束する分数列

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘＦ（１／２，１，３／２：−ｘ^2）

＝ｘ／／１＋１^2ｘ^2／／３＋２^2ｘ^2／／５＋３^2ｘ^2／／７＋４^2ｘ^2／／９＋・・・

　後者にｘ＝１を代入すれば

　　π／４＝１／／１＋１／／３＋４／／５＋９／／７＋１６／９＋・・・

＝１／／１＋Φｋ^2／／（２ｋ＋１））＋・・・

を得ることができる．

　これは，

　　ｅ＝１／／１＋１／／２＋１／／６＋１／／１０＋１／／１４＋・・・

＝１／／１＋Φ１／／（４ｋ−２））＋・・・

と形式がうりふたつである．

　そこで，

　　ａn+1＝（２ｎ＋３）／（ｎ＋１）^2ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（２ｎ＋３）／（ｎ＋１）^2ｂn＋ｂn-1

初期値をａ0＝１，ａ1＝０，ａ2＝１，ｂ0＝１，ｂ1＝１，ｂ2＝11/4とすると

　　ａn／ｂn→　π／４

となるだろうか？

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ａ1＝０，ｂ1＝１

ａ2＝１，ｂ2＝7/4+1=11/4

ａ3＝7/9，ｂ3＝7/9･11/4+1＝113/36

ａ4＝9/16・7/9+1=207/144，ｂ3＝9/16･113/36+11/4＝2601/576

　ａ2／ｂ2＝４／１１

　ａ3／ｂ3＝２５２／１０１７

　ａ4／ｂ4＝１１９２３２／３７４５４４

あまりよい近似は得られていないが，初期値が悪いのだろうか？

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　初期値をａ0＝０，ａ1＝１，ａ2＝7/4，ｂ0＝１，ｂ1＝１，ｂ2＝11/4とすると

ａ1＝１，ｂ1＝１

ａ2＝7/4，ｂ2＝7/4+1=11/4

ａ3＝7/9･7/4+1=85/36，ｂ3＝7/9･11/4+1＝113/36

ａ4＝9/16・85/36+7/4=1603/144，ｂ3＝9/16･113/36+11/4＝2601/576

　ａ2／ｂ2＝７／１１

　ａ3／ｂ3＝８５／１１３

　ａ4／ｂ4＝１７７３／２６０１

・・・いわくいいがたし．

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