数学の世界には，ごく稀ですが，４次元や高次元の世界をイメージできる人がいます．たとえば，ペトリーは子供の頃から数学に対する異常な能力を示し，４次元図形を直観的に見ることができたといわれています．

　しかしながら，３次元の世界を視覚化できるだけでも十分に稀有な能力であって，数学者であっても２次元のイメージで何とかやっている人がほとんどです．

　このことが判明したのは幾何学の研究会においてでした．数年前から幾何学の研究会に参加するようになって，毎年，高次元図形に関する講演を行っているのですが，参加者の高次元図形に対する理解は進んでいないようです．そこで，今回のコラムでは高次元図形を正しく認識する方法について述べたいと思います．

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　まず，４次元空間が実在するというのは，ある意味，人間の理解を超えていますが，４次元図形は数学的脳産物として十分に考えうるものです．

　４次元図形は３次元図形が４次元空間をリンゴの皮のように取り囲んだ図形です．しかし，それを３次元空間に投影すると内部構造をもった３次元図形の集合体として描写されます．すなわち，内部は４次元空間ではなく３次元図形で充満された形になってしまうのですが，このことが理解の最大の障壁であるようです（実際によく質問されます）．

　そのことを３次元で考察しますと，３次元図形を２次元平面に投影すると内部構造をもった２次元図形の集合体として描写されます．また，３次元図形は表裏の２次元図形が３次元空間を内包したものになっています．したがって，内部構造をもつということはおかしいことで何でもなく，当然のことなのです．

　つぎに，次元をひとつあげて，その投影図が４次元空間を取り巻いているようにイメージするためには，脳のなかで，投影図の中心を北極，投影図の内部を北半球，表面を赤道とみなします．また，ここまでは膨張してきましたがこれからは収縮に転じて，内部を南半球，最後は投影図の中心を南極というように再構成しなければなりません．

　このことを再び３次元で考察します．北極から３６０機の飛行機が南極に向かって経線上を等速航行するとします．観測者が北極星からこれを見ていると，地球は円板に見え，飛行機は次第に全長が縮まり，赤道上空では機体長さは０になってしまいます．しかし，その間，機体の幅は一定に保たれます．地球が透明であれば，その後は機体の長さは回復していき，機種が中心に向いてきます．北半球上の点と南半球上の点は同一の点とみなされます．

　それをバネにして，４次元でも思考的類推を行うと，前記の如く，「脳のなかで，投影図の中心を北極，投影図の内部を北半球，表面を赤道，ここまでは膨張してきましたがこれからは収縮に転じて，内部を南半球，最後は投影図の中心を南極というように再構成しなければなりません」となるわけです．

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