連分数展開によって，黄金比と白銀比は

　　（１＋√５）／２＝［１；１，１，１，１，１，・・・］

　　√２＝［１；２，２，２，２，２，・・・］

のように，１や２が無限に繰り返されるという規則性を見ることができます．今回のコラムでは黄金比（１＋√５）／２と白銀比√２に関する雑多な問題を取り上げることにしたいと思います．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】白銀比のディオファントス近似

　無理数を有理数で近似するには，連分数展開の近似分数を用いるべきであるということはよく知られています．ここでは，連分数展開と本質的には同等の√２に収束する数列を考えることにします．まず

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

　　（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√２

ですから，√２に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）^n（ａn＋ｂn√２）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２

より

　　ａn+1＝ａn＋２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋２ｂn＝ａn＋２（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋ａn-1＋（ａn-1＋２ｂn-1）＝２ａn＋ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋２ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋ｂn＋ｂn-1）＝２ｂn＋ｂn-1

より

　　ａn+1＝２ａn＋ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋ｂn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１＝０の根１±√２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝１＋√２，β＝１−√２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると

　　ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝１，ｂ2＝２とすると

　　ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n−（１−√２）^n｝

　ここで，ｎ→∞のとき（１−√２）^n→０ですから

　　ａn／ｂn→　√２

となるのを確かめることができます．

　このとき，ａn，ｂnの値は

ｎ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　１０

ａn 1　 3 7 17 41 99 239 577 1393 1363

ｂn 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378

であり，その近似分数は1/1,3/2,7/4,17/12,41/29,･･･というわけですが，たとえば，すべての有理数

　　ｐ／ｑ　　（ｐ≦４１，ｑ≦２９）

の中で41/29=1.41379･･･が√２の最もよい近似値であるのです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝