ａがｘ^2＝２の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．

　かくして算術平均：

　　ａn+1=1/2(ａn＋２／ａn)

によって定義される数列は√２に収束することになります．この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】平方根のディオファントス近似

　ここでは，これとは別の√２に収束する数列を考えることにします．まず

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

　　（１−√２）^n＝ａn−ｂn√２

を満足させるような整数列｛ａn｝，｛ｂn｝を考えます．これらの数列は

　　ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n

となる関係式で結ばれていて，

　　ａn／ｂn→　√２

ですから，√２に最も近い分数を与えることがわかります（最良近似）．

　　ａn+1＋ｂn+1√２＝（１＋√２）^n（ａn＋ｂn√２）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋２ｂn）＋（ａn＋ｂn）√２

より

　　ａn+1＝ａn＋２ｂn，ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋２ｂn＝ａn＋２（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋ａn-1＋（ａn-1＋２ｂn-1）＝２ａn＋ａn-1

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn＝（ａn-1＋２ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋ｂn＋ｂn-1）＝２ｂn＋ｂn-1

より

　　ａn+1＝２ａn＋ａn-1，ｂn+1＝２ｂn＋ｂn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−２ｘ−１＝０の根１±√２として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^(n-1)（ａ2−βａ1）−β^(n-1)（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

α＝１＋√２，β＝１−√２，初期値をａ1＝１，ａ2＝３とすると

　　ａn＝１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^(n-1)（ｂ2−βｂ1）−β^(n-1)（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

初期値をｂ1＝１，ｂ2＝２とすると

　　ｂn＝１／２√２｛（１＋√２）^n−（１−√２）^n｝

　ここで，ｎ→∞のとき（１−√２）^n→０ですから

　　ａn／ｂn→　√２

となるのを確かめることができます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　同様にして，√３の最良近似では

　　（２＋√３）^n＝ａn＋ｂn√３

　　（２−√３）^n＝ａn−ｂn√３

より

　　ａn+1＝４ａn−ａn-1，ｂn+1＝４ｂn−ｂn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−４ｘ＋１＝０の根２±√３として，初期値をａ1＝１，ａ2＝２，ａ3＝７，ｂ1＝０，ｂ2＝１，ｂ3＝４とすると

　　ａn／ｂn→　√３

となります．

　近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理）．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［補］ｅの近似分数

　　ａn+1＝（４ｎ＋２）ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（４ｎ＋２）ｂn＋ｂn-1

初期値をａ1＝１，ａ2＝３，ａ3＝１９，ｂ1＝１，ｂ2＝１，ｂ3＝７とすると

　　ａn／ｂn→　ｅ

となります．係数は整数ではありませんが，係数が次々に大きくなるので近似速度は速くなります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝