一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，たとえば，

　　ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３＝０

が（１，１，１），（４，４，−５）とその並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません．

　１９７０年，レニングラードの学生であったユーリ・マチアセビッチによって，すべてのディオファントス方程式（不定方程式，有限個の整数係数多項式からなる方程式）の解の存否を判定するアルゴリズムが存在しないことが証明されています．

　　Ｆn+k＝ＦkＦn+1＋Ｆn-1Ｆn

ｎ＝ｋとおくと，

　　Ｆ2n＝ＦnＦn+1＋Ｆn-1Ｆn・・・Ｆ2nはＦnの倍数である．

　　Ｆ3n＝Ｆ2nＦn+1＋Ｆ2n-1Ｆn・・・Ｆ3nはＦnの倍数である．

　一般にＦ3nはＦnの倍数である．また，

　　ＧＣＤ（Ｆm，Ｆn）＝ＦGCD(Fm,Fn)

が成り立つ．

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【１】マチアセビッチの補題

　この有名な証明は，フィボナッチ数Ｆmが（Ｆn）^2の倍数であることと，ｍがｎＦnの倍数であることが同値であるということから示すことができます（マチアセビッチの補題）．

（証）数列Ｆkn　ｍｏｄ　（Ｆn）^2を作る．Ｆm　ｍｏｄ　Ｆn＝０であれば，ｍはｋｎという形をしていなければならない．

　　Ｆn　ｍｏｄ　（Ｆn）^2＝Ｆn≠０

　　Ｆn+k＝ＦkＦn+1＋Ｆn-1Ｆn

　　Ｆn+1＝Ｆn-1　　（ｍｏｄ　Ｆn）

から，

　　Ｆ2n＝ＦnＦn+1＋Ｆn-1Ｆn＝２ＦnＦn+1　　（ｍｏｄ　（Ｆn）^2）

同様に

　　Ｆ2n+1＝（Ｆn+1）^2＋（Ｆn）^2＝（Ｆn+1）^2　　（ｍｏｄ　（Ｆn）^2）

　これらの合同式より

　　Ｆ3n＝Ｆ2nＦn+1＋Ｆ2nＦn-1

＝（Ｆn+1）^2Ｆn＋（２ＦnＦn+1）Ｆn+1＝３（Ｆn+1）^2Ｆn　　（ｍｏｄ　（Ｆn）^2）

　　Ｆ3n+1＝Ｆ2n+1Ｆn+1＋Ｆ2nＦn

＝（Ｆn+1）^3＋（２ＦnＦn+1）Ｆn＝（Ｆn+1）^3　　（ｍｏｄ　（Ｆn）^2）

　一般に，

　　Ｆkn＝ｋＦn（Ｆn+1）^k-1　　（ｍｏｄ　（Ｆn）^2）

　　Ｆkn+1＝（Ｆn+1）^k　　（ｍｏｄ　（Ｆn）^2）

　ここで，Ｆn+1とＦnは互いに素であるから

　　Ｆkn＝０　　（ｍｏｄ　（Ｆn）^2）

　　ｋＦn＝０　　（ｍｏｄ　（Ｆn）^2）

　　ｋ＝０　　（ｍｏｄ　Ｆn）

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【２】ツェッケンドルフの定理

　任意の正の整数はフィボナッチ数の和として一意に表現できる．

　　ｎ＝Ｆk1＋Ｆk2＋・・・＋Ｆkr

　この定理から２進数に似たフィボナッチ数体系を作ることができる．

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　なお，フィボナッチ数は５次式

　　−ｙ^5＋２ｙ^4ｘ＋ｙ^3ｘ^2−２ｙ^2ｘ^3−ｙ（ｘ^4−２）

の正整数値であることが示されています．

　オイラーの公式ｎ2 ＋ｎ＋４１のｎをｎ−１に変換すればｎ2 −ｎ＋４１，ｎ−４０に変換すればｎ2 −７９ｎ＋１６０１が与えられます．１変数の２次多項式ではｎ2 ＋ｎ＋１７や２ｎ2 ＋２９なども高い確率で素数を生成します．それでは，多変数の高次多項式ではどうでしょうか．

　１９７１年，旧ソ連のマチアセビッチは，素数全体をあるひとつのディオファントス方程式の解として表すことにも成功しています．すなわち，すべての素数をつくる式を生み出したことになるのですが，その式は３７次で２４個の変数をもつ多項式と２１次で２１個の変数をもつ多項式でした．これらの多項式は負の値もとり，また，素数は多項式の値として繰り返し出現します．

　すべての素数をもれなくつくり，しかも素数以外はつくらない公式は知られていません．素数を完全に定義する式が存在することは証明されていませんし，存在しないともわかっていません．

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