有理数は有限連分数，無理数で代数的数の場合は無限循環連分数，超越数は無限非循環連分数になります．たとえば，超越数ｅの連分数展開は，

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，１，８，１，１，１０，１，１，１２，１，１，１４，１，１，１６，・・・］

と書け，ｅは有理数でないだけでなく，２次の無理数でもないことがわかりますが，数字の出方が自然数順になっていることもわかります．

　　ｅ＝［２；１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，１，２ｎ，１，・・・］　　　（オイラーの公式）

すなわち，２次の無理数のように規則的になっているわけですが，ｅのように超幾何関数の特殊値は３次の無理数よりも，２次の無理数に近いということなのでしょうか？

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【１】ｅに収束する分数列

　　ａn+1＝（４ｎ＋２）ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（４ｎ＋２）ｂn＋ｂn-1

初期値をａ1＝１，ａ2＝３，ａ3＝１９，ｂ1＝１，ｂ2＝１，ｂ3＝７とすると

　　ａn／ｂn→　ｅ

となります．

ｎ　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６

ａn 3　 19 193 2721 49171 1084483

ｂn 1 7 71 1001 18089 398959

大変よい近似分数を得ることができます．

　これは，連分数展開

　　ｅ＝１／／１−１／／１＋Φ（１／／２−１／／（２ｋ＋１））

　　（ｅ−１）／（ｅ＋１）＝Φ（１／／（４ｋ−２））

に基づいています．

　ただし，α＝ｅ−２＝．７１８２８１８２８４５９・・・について，逐次の｛ｂk｝は１，２，１，１，４，１，１，６，１，・・・，逐次近似分数は

　　1/1,2/3,3/4,5/7,23/32,28/39,51/71,334,465，・・・

で，あまりよい近似は得られていません．

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　　ｅ＝１＋ｘ＋ｘ^2／２＋ｘ^3／６＋・・・

を連分数表示して，

　　ｅ＝１／／１−ｘ／／１＋ｘ／／２−ｘ／／３＋ｘ／／２−ｘ／／５＋ｘ／／２−ｘ／／７＋・・・

　ｘ＝１とすれば，逐次近似分数は

　　1/1,1/0,3/1,8/3,19/7,87/32,193/71,1264/465,2721/1001,・・・

なのですが，ここで，−ｘ／／１＋ｘ／／２，−ｘ／／３＋ｘ／／２，−ｘ／／５＋ｘ／／２のように，２項ずつまとめれば

　　ｅ＝１／／１＋１／／２＋１／／６＋１／／１０＋１／／１４＋・・・

＝１／／１＋Φ１／／（４ｋ−２））＋・・・

となって，大変よい近似

　　19/7,193/71,2721/1001,49171/18089,･･･

を得ることができるというわけです．

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