［参］吉永正彦「周期と実数の０認識問題」数学書房

にしたがって，オイラーの第１級数（１７３６年）

　ζ（２）＝π^2 ／６＝１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^2 ＋１／４^2 ＋・・・

から

　ζ（４）＝π^4 ／９０＝１／１^4 ＋１／２^4 ＋１／３^4 ＋１／４^4 ＋・・・

を導出してみます．

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　　Ｆ（ｚ）＝Σｚ^n／ｎ^2，Ｇ（ｚ）＝Σｚ^n／ｎ^4

とおき，Ｆ（ｚ）^2｜z=1＝５／２・Ｇ（ｚ）｜z=1を示す．

　ｆ（ｍ，ｎ）＝１／ｍｎ^3＋１／２ｍ^2ｎ^2＋１／ｍ^3ｎ

と定義する．このとき，

　ｆ（ｍ，ｎ）−ｆ（ｍ＋ｎ，ｎ）−ｆ（ｍ，ｍ＋ｎ）＝１／ｍ^2ｎ^2

が成り立つ．

　　ζ（２）^2＝Σ１／ｍ^2ｎ^2

＝Σ｛ｆ（ｍ，ｎ）−ｆ（ｍ＋ｎ，ｎ）−ｆ（ｍ，ｍ＋ｎ）｝

＝Σｆ（ｎ，ｎ）＝５／２・ζ（４）

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