■n次方程式とガウスの定理

 18世紀末になって,ガウスは数学に本格的に複素数を導入し「実数あるいは複素数を係数にもつ代数方程式f(x)=a0x^n+a1x^n-1+・・・+an=0は複素数の範囲に解をもつ」,「n次方程式は複素数の範囲にn個の解をもつ」という解の存在証明=「代数学の基本定理(fundamental theorem of algebra)」を証明しました(1799年).

 代数学の基本定理は任意の実数係数をもつ多項式は1次および2次の実数多項式の積である,あるいは任意の複素係数多項式は1次の複素数多項式に分解されうることを述べています.多くの数学者は基本定理を証明なしに信じてきたのですが,ガウスはこの定理を非常に重要と考えたので,生涯に4つの異なる証明を与えています(最後の証明は1848年になされた).

 今回のコラムでは,複素数係数のn次方程式の複素数解が複素平面上で作るn角形の性質に関する「ガウスの定理」を紹介します.

  [参]シェーンベルグ「数学点描」近代科学社

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【1】ガウス・リュカの定理

 複素数係数の2次方程式f(z)=0の複素数解をα1とα2,1次方程式f’(z)=0の解をβとする.このとき,線分α1α2の中点が点βとなる.(あとのためには,点βが線分α1α2の中点であるというよりも,点βが線分α1α2の重心であるといったほうがよい.)

 複素数係数の3次方程式f(z)=0の複素数解をα1,α2,α3,2次方程式f’(z)=0の解をβ1,β2とする.このとき,線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる.1次方程式f”(z)=0の解をγとするとき,線分β1β2の中点が点γとなる.

 一般に,n次方程式f(z)=0の複素数解をα1,α2,・・・,αnと書くことにすると,n−1次方程式f’(z)=0の解β1,β2,・・・,βn-1はn角形[α1,α2,・・・,αn]に,n−2次方程式f”(z)=0の解γ1,γ2,・・・,γn-2はn−1角形[β1,β2,・・・,βn-1]に含まれる.・・・.1次方程式f^(n-1)(z)=0の解ωはn角形[α1,α2,・・・,αn]の重心となる.

 「代数学の基本定理」の解の位置関係については,このようなことまで成り立ってしまうのです.

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【2】ガウスの定理の証明のあらすじ

 ここでは,複素数係数の3次方程式の複素数解が複素平面上で作る3角形の性質に関する「ガウスの定理」の証明のあらすじを紹介します.

  f(z)=axz3+bz^2+cz+d=0

の解をα1,α2,α3,

  f’(z)=3az^2+2bz+c=0

の解をβ1,β2とします.

 すなわち,

  f(z)=(z−α1)(z−α2)(z−α3)=0

  f’(z)=(z−α1)(z−α2)+(z−α2)(z−α3)+(z−α3)(z−α1)=0

 このとき,複素有理関数

  F(z)=f’(z)/f(z)=1/(z−α1)+1/(z−α2)+1/(z−α3)

を導入すると

  f(z)=0の解→F(x)の極,f’(z)=0の解→F(x)の零点をなることを使うと,ガウスの定理を導出することができます.

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【3】ファンデンバーグ・ジーベックの定理

 「ガウスの定理」より

  『複素数係数の3次方程式f(z)=0の複素数解をα1,α2,α3,2次方程式f’(z)=0の解をβ1,β2とする.このとき,線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる.1次方程式f”(z)=0の解をγとするとき,線分β1β2の中点が点γとなる.』ですが,もっと面白い現象

  『2点β1,β2は三角形α1α2α3の3辺の中点でこれらの辺に接する楕円の焦点になる.』

に到達することができます.

(証)γ=(α1+α2+α3)/3=(β1+β2)/2

また,3辺の中点は

  μ1=(α2+α3)/2,μ2=(α3+α1)/2,μ3=(α1+α2)/2

 このとき,中線定理を使うと

  |μ1−β1|+|μ1−β2|=|μ2−β1|+|μ2−β2|=|μ3−β1|+|μ3−β2|

が成り立つ.

[系]与えられた三角形に内接する面積が最大となるシュタイナー楕円は,接点が各辺の中点となるものである.その面積比は

  π/3√3

で円とそれに外接する正三角形の面積比に等しい.

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[補]三角形についてのパップスの中点定理

 △ABCにおいて,辺BC上に中点Mが与えられている.このとき,

  AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)

が成り立つ.

 3辺の長さをa,b,c,AM=xで表すと,

  2(x^2+(a/2)^2)=b^2+c^2

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