18世紀末になって,ガウスは数学に本格的に複素数を導入し「実数あるいは複素数を係数にもつ代数方程式f(x)=a0x^n+a1x^n-1+・・・+an=0は複素数の範囲に解をもつ」,「n次方程式は複素数の範囲にn個の解をもつ」という解の存在証明=「代数学の基本定理(fundamental theorem of algebra)」を証明しました(1799年).
代数学の基本定理は任意の実数係数をもつ多項式は1次および2次の実数多項式の積である,あるいは任意の複素係数多項式は1次の複素数多項式に分解されうることを述べています.多くの数学者は基本定理を証明なしに信じてきたのですが,ガウスはこの定理を非常に重要と考えたので,生涯に4つの異なる証明を与えています(最後の証明は1848年になされた).
今回のコラムでは,複素数係数のn次方程式の複素数解が複素平面上で作るn角形の性質に関する「ガウスの定理」を紹介します.
[参]シェーンベルグ「数学点描」近代科学社
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【1】ガウス・リュカの定理
複素数係数の2次方程式f(z)=0の複素数解をα1とα2,1次方程式f’(z)=0の解をβとする.このとき,線分α1α2の中点が点βとなる.(あとのためには,点βが線分α1α2の中点であるというよりも,点βが線分α1α2の重心であるといったほうがよい.)
複素数係数の3次方程式f(z)=0の複素数解をα1,α2,α3,2次方程式f’(z)=0の解をβ1,β2とする.このとき,線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる.1次方程式f”(z)=0の解をγとするとき,線分β1β2の中点が点γとなる.
一般に,n次方程式f(z)=0の複素数解をα1,α2,・・・,αnと書くことにすると,n−1次方程式f’(z)=0の解β1,β2,・・・,βn-1はn角形[α1,α2,・・・,αn]に,n−2次方程式f”(z)=0の解γ1,γ2,・・・,γn-2はn−1角形[β1,β2,・・・,βn-1]に含まれる.・・・.1次方程式f^(n-1)(z)=0の解ωはn角形[α1,α2,・・・,αn]の重心となる.
「代数学の基本定理」の解の位置関係については,このようなことまで成り立ってしまうのです.
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【2】ガウスの定理の証明のあらすじ
ここでは,複素数係数の3次方程式の複素数解が複素平面上で作る3角形の性質に関する「ガウスの定理」の証明のあらすじを紹介します.
f(z)=axz3+bz^2+cz+d=0
の解をα1,α2,α3,
f’(z)=3az^2+2bz+c=0
の解をβ1,β2とします.
すなわち,
f(z)=(z−α1)(z−α2)(z−α3)=0
f’(z)=(z−α1)(z−α2)+(z−α2)(z−α3)+(z−α3)(z−α1)=0
このとき,複素有理関数
F(z)=f’(z)/f(z)=1/(z−α1)+1/(z−α2)+1/(z−α3)
を導入すると
f(z)=0の解→F(x)の極,f’(z)=0の解→F(x)の零点をなることを使うと,ガウスの定理を導出することができます.
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【3】ファンデンバーグ・ジーベックの定理
「ガウスの定理」より
『複素数係数の3次方程式f(z)=0の複素数解をα1,α2,α3,2次方程式f’(z)=0の解をβ1,β2とする.このとき,線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる.1次方程式f”(z)=0の解をγとするとき,線分β1β2の中点が点γとなる.』ですが,もっと面白い現象
『2点β1,β2は三角形α1α2α3の3辺の中点でこれらの辺に接する楕円の焦点になる.』
に到達することができます.
(証)γ=(α1+α2+α3)/3=(β1+β2)/2
また,3辺の中点は
μ1=(α2+α3)/2,μ2=(α3+α1)/2,μ3=(α1+α2)/2
このとき,中線定理を使うと
|μ1−β1|+|μ1−β2|=|μ2−β1|+|μ2−β2|=|μ3−β1|+|μ3−β2|
が成り立つ.
[系]与えられた三角形に内接する面積が最大となるシュタイナー楕円は,接点が各辺の中点となるものである.その面積比は
π/3√3
で円とそれに外接する正三角形の面積比に等しい.
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[補]三角形についてのパップスの中点定理
△ABCにおいて,辺BC上に中点Mが与えられている.このとき,
AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)
が成り立つ.
3辺の長さをa,b,c,AM=xで表すと,
2(x^2+(a/2)^2)=b^2+c^2
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