１−ｙ1＝２／ｎ（ｎ＋１）

より，規格化前（正単体の辺の長さ１）の置換多面体の体積は

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(n-1/2}／２^n/2・｛２／ｎ（ｎ＋１）｝^n

　もし，置換多面体の体積が内接球で近似できるとしたら

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^(-1/2}・２^n/2／ｎ^n

〜　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

　　ｒ^n〜ＶnΓ(n/2+1)／π^(n/2)

が成立しなければならない．

　ここでは偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）だけを扱うことにするが，

　　ｒ^2k〜Ｖ2kｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・２^k／（２ｋ）^2k・ｋ！／π^k

＝（２ｋ＋１）^(-1/2}・（２πｋ^2）^-k・ｋ！→誤り修正

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　また，切頂切稜面までの距離は

　　ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2

で与えられる．

　　ｈ0＝｛１／２ｎ（ｎ＋１）｝^1/2＝ｒ

とすると，

　　ｒ^2k＝｛１／２・２ｋ（２ｋ＋１）｝^k

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}・（２πｋ^2）^k｛４ｋ（２ｋ＋１）｝^-k

〜（２ｋ＋１）^(1/2}・｛πｋ／２（２ｋ＋１）｝^k

〜（２ｋ＋１）^(1/2}・｛π／２（２ｋ＋１）｝^k・ｋ^k

となって，スターリング近似式に似てきた．

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　　ｒ^2k〜（２ｋ＋１）^(-1/2}・（２πｋ^2）^-k・ｋ！

に

　　ｈj＝｛（ｊ＋１）（ｎ−ｊ）／２ｎ^2（ｎ＋１）｝^1/2＝ｒ

を代入すると

　　｛（ｊ＋１）（２ｋ−ｊ）／８ｋ^2（２ｋ＋１）｝^k

　〜（２ｋ＋１）^(-1/2}・（２πｋ^2）^-k・ｋ！

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}｛π／４・（ｊ＋１）（２ｋ−ｊ）／（２ｋ＋１）｝^k

［１］ｊ＝０のとき

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}｛π／４・２ｋ／（２ｋ＋１）｝^k

　　　　〜（２ｋ＋１）^(1/2}・｛π／２（２ｋ＋１）｝^k・ｋ^k

［２］ｊ＝１のとき

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}｛π／２・（２ｋ−１）／（２ｋ＋１）｝^k

　　　　〜（２ｋ＋１）^(1/2}・｛π（１−１／２ｋ）／（２ｋ＋１）｝^k・ｋ^k

　ここで，

　　（１−１／２ｋ）^2k→ｅｘｐ（−２ｋ）

　　（１−１／２ｋ）^k→ｅｘｐ（−ｋ）

であるから，ますますスターリング近似式に似てくる．

［３］ｊ＝２のとき

　　ｋ！〜（２ｋ＋１）^(1/2}｛３π／２・（ｋ−１）／（２ｋ＋１）｝^k

　　　　〜（２ｋ＋１）^(1/2}・｛３π／２・（１−１／ｋ）／（２ｋ＋１）｝^k・ｋ^k

　　（１−１／ｋ）^k→ｅｘｐ（−ｋ）

であるが，いずれの場合も

　　（２ｋ＋１）^k＝（２ｋ）^k（１＋１／２ｋ）^k→（２ｋ）^kｅｘｐ（２）

となり，スターリング近似式に似ていないことになってしまう．

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