フラーレン（サッカーボール型炭素分子）はいくつもの六角形の合間に正五角形がはさまっていて，全体が球状に閉じている．それでは，六角形の合間に八角形をはめ込んだらどのような立体になるだろうか？

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【１】マッカイ結晶（３次元のダイヤモンド）

　１９９１年，ロンドン大学のアラン・マッカイが考え出したこの奇妙な立体は，ねじれ正多面体の１種であり，ひとつながりの面が縦・横・高さの三方向にどこまでも続く３次元結晶である．

　ねじれ正多面体は空間全体を２分割し，一方から他方へはどこかの面を突き抜けない限りいくことができないという性質をもつため，天文学にも応用されている．ねじれ正多面体では内側と外側が同じ構造なのである．

　マッカイはこの構造を炭素で実現させることを思いついた．Ｋ４結晶同様，まだ計算上の物質であるが，フラーレンを立体的に積み重ね，圧力を加えて接触面を合体させた構造をしている．この新しい炭素結晶構造が実際に見つかれば，グラファイトとダイヤモンドの２つの顔を併せもつものになるはずである．

　大澤映二先生らのグループのマッカイ結晶のシミュレーションでは，現在よりもはるかにエネルギー変換効率の高い太陽電池を作れる可能性かあることが期待されている．

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【２】フラーレン（０次元のダイヤモンド）

　ダイヤモンドとグラファイト（鉛筆の芯）に次ぐ炭素第３の形として「フラーレン」があげられる．フラーレンは１９７０年に大澤映二氏（当時京都大学）が存在を予言していた分子である．フラーレンの中でも６０個の炭素原子が球殻状に結合したＣ60はサッカーボール（切頂２０面体）にそっくりで，１２個の五角形と２０個の六角形からなる網目状のカゴ構造を形成している．

　１９８５年に，クロトー，スモーリー，カール（Kroto,Smalley,Curl）がグラファイトにレーザーを当ててできた欠片をマススペクトルにかけたところ分子量が７２０（Ｃ60）と８４０（Ｃ70）という値が得られその存在が確認された．彼らはネイチャー誌に論文を書いてサッカーボールの画を載せた．（その後，数ｍｇ〜数百ｍｇのフラーレンが得られる製法が開発され，ＮＭＲで間違いなくサッカーボールの形であることが証明された．）

　彼らの論文はサッカーボールの形を推定しただけであるが，結局この３人が１９９６年にノーベル化学賞をもらって，大澤映二氏の名前は世界に広く知られることはなく随筆で止まってしまった．日本人にとっては残念なストーリーであるが，大澤映二氏は有機合成のエキスパート，現在でも精力的に人造・人工ダイヤの研究を行っておられる（現・ナノ炭素研究所）．

　その後，サッカーボール型のＣ60だけでなく、ラグビーボール型のＣ70，金属を内部に取り込んだＣ80などが次々に発見され，これら一群の球状炭素分子はフラーレンと総称される．

　フラーレンはダイヤモンドに次ぐくらい硬く，セシウムやルビジウムなどのアルカリ金属を加えると超伝導をおこすという化学的性質をもつ．切頂２０面体は頂点が６０あり，どの頂点からも３本の手がでている．したがってＣ60では３０本の二重結合（１２５００のケクレ構造）が描ける．また，異性体は１８１２種類もあり，そのうちで１２個の五角形がすべて離れているものが１つだけあり，それがサッカーボール型のＣ60である．この形は最も安定であるが，Ｃ60，Ｃ70以外にも正五角形１２枚，正六角形は２０枚〜１００枚以上の０次元ダイヤモンドが知られている．

　フラーレンの抗酸化薬としての作用をアルツハイマー病の治療に応用したり，きわめて微小なドラックデリバリー物質として，がん細胞を狙い撃ちする用途も検討されている．

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（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある．

（Ａ）オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

を組み合わせると，

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４　→　ｆ≦２ｖ−４

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４　→　ｖ≦２ｆ−４

また，別の組合せ方をすると，

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ≧６

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ　→　３ｖ−ｅ≧６

　ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（斜方切頂立方八面体）

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【３】カーボン・ナノチューブ（１次元のダイヤモンド）

　１次元の炭素同素体といえば，カルバイン（単結合と３重結合を交互にもつ長鎖分子，アセチレンをずっと伸ばしたような炭素の１次元同素体）のようなものを思い浮かべるのが普通であるが，グラファイトをぐるっと管状に丸めたものもれっきとした１次元ダイヤモンドである．

　すべての面が六角形であるような多面体は存在しない．蜂の巣状六角形タイル貼りに五角形タイルを１つ入れるとその部分が盛り上がった曲面となる．五角形タイルの数を増やしていって１２枚になったところで閉じたい多面体となる．これを２つに切って両半球にそれぞれ６枚ずつの五角形が含まれる場合（６，６）に，半球間にグラファイトを細い円筒状に巻いたものがカーボン・ナノチューブである．

　カーボン・ナノチューブは１９９１年，飯島澄男氏（当時ＮＥＣ）により発見された１次元物質である．興味深いことにグラファイトシートの巻き方によって電気伝導性が大きく変わり，電気をよく伝えるものから電気を伝えにくいものまでいくつかの種類がある．このことから次世代半導体としてカーボン・ナノチューブが注目されている．

　最近ではグラファイトを円錐形に丸めたナノコーンも面白い性質をもつ物質として応用上注目されているという．円錐にするには両端のキャップ部分の五員環を（６，６）ではなく，（１，１１），（２，１０），（３，９），（４，８），（５，７）の組にする．したがって，ナノコーンの仰角は５種類に限られる．（５，７）では５個側から７個側にチューブが徐々に太くなる．また，らせんを作るには五員環，六員環以外に七員環を入れる必要がある．

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