平面を鏡映三角形で埋めることを考えます．ユークリッド面（放物的），リーマン面（楕円的），ロバチェフスキー面（双曲的）を問題にするならば，解は非常に異なるものになります．

　　α＋β＋γ＞π，＝π，＜π

　すなわち

　　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＞１，＝１，＜１

に応じて楕円幾何学，ユークリッド幾何学，双曲幾何学の三角形が得られます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＞１を満たす正の整数の組（ａ，ｂ，ｃ）は高々有限個で，（ｎ，２，２）は正２面体群，（３，３，２）は正４面体群，（４，３，２）が正８（６）面体群，（５，３，２）は正２０（１２）面体群に対応しています．

　一方，１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＜１の場合は（ｎ≧７，３，２），（ｎ≧５，４，２），（ｎ≧４，３，３），（ｎ≧３，４，３）など無限個あり，双曲幾何学における市松模様三角形タイル張りの可能性は無限にあることになります．

　すなわち，楕円的平面（球面）では基本領域は有限個しかなく，有限個の基本領域をならべることによって全平面を埋めつくすことができます．一方，双曲的平面（擬球面）の場合には，無限に多くの種類の基本領域があり，全平面を隙間なく埋めるには無限個必要となります．ユークリッド平面はその中間で，基本領域は有限種類しかないが，全平面を埋めつくすには無限個必要であるというわけです．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　幾何学　　　　　　　Ｓ^n　　　　　　　Ｅ^n　　　　　Ｈ^n

　　α＋β＋γ　　　　　＞π　　　　　　　＝π　　　　　＜π

　（ａ，ｂ，ｃ）　　（ｎ，２，２）　　（∞，２，２）　　その他

　　　　　　　　　　（３，３，２）　　（３，３，３）

　　　　　　　　　　（４，３，２）　　（４，４，２）

　　　　　　　　　　（５，３，２）　　（６，３，２）

　平面充填ならば分母は２，３，４，６になるのですが，球面充填では分母は２，３，４，５となることがおわかり頂けたかと思われます．

　また，２次元双曲平面では正ｐ角形が頂点のまわりにｑ個ずつ集まる

　　１／ｐ＋１／ｑ＜１／２

を満たす無限個の基本領域があることがわかったわけですが，３〜５次元双曲空間では有限個（３次元：２２個，４次元：１３個，５次元：５個）しかなく，６次元以上ではこのような基本領域が存在しないことが証明されています（コクセター，１９５４年）．

［参］Coxeter「Twelve geometric essays」Carbondale and Edwardsville,

　　　Southern Illinois university press

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝