正軸体の内接球の体積

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・１／ｎ^n/2＝π^k/ｋ！・１／（２ｋ）^k

とｎ次元切頂八面体の体積

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝１／２・｛１／ｋ｝^2k・２^2k

の大小比較を行ってみたい．

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　ｋ！／ｋ^kと２（π／８）^kの大小を比較することになるが，

　　１／ｋ・２／ｋ・・・（ｋ−１）／ｋ・ｋ／ｋ≦１／２^k-1

は証明済みである．

　π／８＜１／２より，

　　２（π／８）^k≦１／２^k-1＝２（１／２）^k

ｎ次元切頂八面体を正軸体の内接球で近似することによって，不等式が改良されたことになる．

　なお，

　　正軸体の内接球の半径＝１／√ｎ＝√ｎ／ｎ

であるから，ｎ＝４のとき，１／√ｎ＝２／ｎとなって，４次元切頂八面体（すなわち正２４胞体）に内接する．しかし，ｎ＞５のとき

　　１／√ｎ＞２／ｎ

になって，内接球はｎ次元切頂八面体を包含しないことが示される．

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　さらに，πｅ＝８，５３９・・・より，１／ｅ＜π／８＜１／２

　　２ｅｘｐ（−ｋ）≦２（π／８）^k≦２（１／２）^k

が示される．

　スターリングの公式は，ｋがおおきくなるにつれて

　　ｎ！／ｎ^n〜√（２πｎ）ｅｘｐ（−ｎ）

であるから，ここまでくればスターリングの公式に非常に接近した値が得られたことになる．

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［まとめ］

　正軸体と切頂正軸体の体積比較によって，不等式

　　ｎ！／ｎ^n≦２（１／２）^n

正軸体の内接球と切頂正軸体の体積比較によって

　　ｎ！／ｎ^n≒２（π／８）^n

Wallisの公式を使って

　　ｎ！／ｎ^n≒√（２ｎ／π）（π／８）^n

が得られた．

　さらに，πｅ＝８，５３９・・・より，

　　（π／８）^n≒（１／ｅ）^n

が示される．スターリングの公式には図形的近似が奏効するというわけである．図形的な方法では限界があるとはいえ，面白い結果と思う．

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