【１】ｎ次元正軸体の切頂

　ｎ次元正軸体を切頂して，すべての辺が同じ長さの「ｎ次元切頂八面体」を作ることを考える．正軸体を切頂する場合，すべての辺が同じ長さになるのはどんなときだろうか？　計算方法はコラム「ｎ次元の立方体と直角三角錐（その５７）」に譲って結論を先にいうと，超平面ｘ＝２／ｎで切頂すればよい．

　ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

　この超平面はｎが偶数のとき，頂点Ｐn/2-1を通る．正軸体の基本単体の切断のほうが超立方体の基本単体の切断よりも簡単に扱えることがわかった．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】図形的証明

　もとのｎ次元正軸体の１象限の体積は１／ｎ！．また，切頂後２個で１辺の長さ（２／ｎ）の立方体ができるから，不等式

　　２／ｎ！≧（２／ｎ）^n

が成り立つことがわかる．

　この不等式は，スターリングの不等式から明らかかもしれないが，図形的に示すことができることは面白いだろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝