小梁修先生（埼玉大学）が直観幾何学研究会（熊本）において

［１］同じ円に内接するいくつかの正多角形

［２］同じ球に内接するいくつかの正多面体

の不可思議な関係について熱弁熱演．

　計算は面倒だから［２］の結果のみを紹介すると，

「同じ球に内接する小星形１２面体と大１２面体の体積比は１：φ」

「同じ球に内接する小星形１２面体と大１２面体の表面積比は１：φ」

　その中で使われている計算がまさにφ形式の算法であって，

　　φ＋２＝φ^2＋１＝φ√５

便宜のためこれをｋとおいて，正１２面体・正２０面体の諸計量を求めると，上の結果が得られる．

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［１］同じ円に内接するいくつかの正多角形

　１辺の長さ１の正五角形の４頂点を選び，対角線２本を交差させるようにひく．交点はそれぞれの対角線を黄金比に内分するので，長さφの対角線は長さ１の線分と長さ１／φの線分に分けられる．これらをそれぞれａ，ｂとする．

　次に，対角線の交点と残った頂点を線で結ぶ．この線分の長さをｃとする．菱形が二等分されることになるが，菱形の短い方の対角線の長さがｃである．このとき，ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2が成り立つ．

　　ａ^2＋ｂ^2＝１＋１／φ^2＝（１０−２√５）／４

　　ｃ＝２ｓｉｎπ／５

　　ａ：白，ｂ：黄，ｃ：水色

　　ａ：１辺の長さ１の正五角形の辺の長さ＝半径１の円の半径

　　ｂ：半径１の円に内接する正十角形の辺の長さ

　　ｃ：半径１の円に内接する正五角形の辺の長さ

であるから，同じ円に内接する正五角形と正十角形の関係でもある．

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