【１】畳の敷き方数の一般項

　　Ｋ（ｎ×２）＝Π(l=1~[(n+1)/2]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））｝

において，ｎ→２ｍと置き換えれば

　　Ｋ（２ｍ×２）＝Ｋ（２×２ｍ）

　＝Π(k=1~m]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

となる．また，ｎ＝１のとき，畳の敷き方はただ１通りであるから，

　　Ｋ（１×２ｍ）＝１

　　１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））

の１はＫ（１×２ｍ）＝１の場合に対応していて，組み合わせ数の本質的な部分は

　　４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））

と思われる．そこで，Ｋ（ｎ×２ｍ）を求めるには１の代わりに

　　４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））

を用いればよいことになる．

　以上のことから，

　　Ｋ（ｎ×２ｍ）

　＝Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]｛４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

　＝２^2m[(n+1)/2]Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]｛ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））＋ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

と考えられるのである．１が消えた理由を無理矢理こじつけたようであるが，・・・

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　１９６１年，物理学者のカステレイン，フィッシャー，テンパレイは縦横２辺の長さが任意の偶数（２ｍ×２ｎ）の長方形の畳の敷き方数は

　　Ｋ（ｎ，ｍ）＝Π(j=1~n)Π(k=1~m)｛４ｃｏｓ^2（ｊπ／（２ｎ＋１））＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

であることを見いだした．

　奇数の場合も含め，この敷き方数の求め方は（その１）で解説したが，この不思議な公式には興味深い性質が隠されていて，たとえば，正方形（ｍ＝ｎ）の場合には，つねに奇数の２乗を２^n倍したものになる．

　　Ｋ（０，０）＝１＝２^0

　　Ｋ（１，１）＝２＝２^1

　　Ｋ（２，２）＝３６＝２^2３^2

　　Ｋ（３，３）＝６７２８＝２^3２９^2

　　Ｋ（４，４）＝１２９８８８１６＝２^4９０１^2

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