１×２の長方形（ドミノ）で長方形を作る問題は和室の畳の敷き方と同じ問題であって，私たち日本人にはなじみ深いものです．

［Ｑ］ｎ畳間に畳を敷き詰める方法は何通りあるか（ｎ×２ｍの長方形の部屋にｎ×ｍ枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか）

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［Ａ］ｍ＝１の場合はやさしい．ｎ枚の畳を鰻の寝床のように細長いｎ×２の間取りに敷くその敷き方の数Ｆnになる．半畳の正方形の１辺を単位として数えると，敷き方の数はｎを１と２に分割する組み合わせ数（ｎ段の階段を一歩で１段または２段昇ることにする昇り方の数）に一致し，それは

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

の関係になるから，フィボナッチ数列（初項１，第２項２）

　　１，２，３，５，８，１３，・・・

　　Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n+1−｛（１−√５）／２｝^n+1］

が現れることになる．

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　細矢治夫先生によると，この問題は物理学の問題と深く関係しているという．物理学研究者の２つのグループが１９６１年に独立に発表した結果では，

　　Ｋ（ｎ×２ｍ）＝２^2m[(n+1)/2]Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]｛ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））＋ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

　とくにｍ＝１のときは

　　Ｋ（ｎ×２）＝Π(l=1~[(n+1)/2]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））｝

という式が出てくるが，これはフィボナッチ数列の三角関数表現になっているとのことである．

　フィボナッチ数列は指数関数的に増加するから，Ｋ（ｎ×２ｍ）は爆発的に増加する．

ｍ／ｎ １ ２ ３ ４ ５

１ 1 2 3 5 8

２ 1 5 11 36 95

３ 1 13 41 281 1183

４ 1 34 153 2245 14824

５ 1 89 571 18061 185928

　ｍ＝２の段を見れば

　　６畳間に畳を敷き詰める方法は１１通り

　　８畳間に畳を敷き詰める方法は３６通り

　　１０畳間に畳を敷き詰める方法は９５通り

あることがわかる．ただし，ここでは回転や鏡映で重なるものを別々のパターンとして数えている．

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