たとえば,sin(π/14)を求めるのに,θ=π/14とおくと
7θ=π/2,4θ=π/2-3θ
より,
cos4θ=sin3θあるいはsin4θ=cos3θ
こうすれは7次方程式を解く必要はない.
後者は
-8sin^3θcosθ+4sinθcosθ=4cos^3θ-3cosθ
-8sin^3θ+4sinθ=4cos^2θ-3
-8sin^3θ+4sinθ=1-4sin^2θ
8sin^3θ-4sin^2θ-4sinθ+1=0
より3次方程式に帰着する.
この方程式はsinπ/14のみならず,sin3π/14,cos5π/14,(sin7π/14=1)も解となるはず.
したがって,
8x^3-4x^2-4x+1=0
の3根であるから,根と係数の関係より
sinπ/14+sin3π/14+sin5π/14=4/8=1/2
などが示されるはず.
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前者は
8cos^4θ-8cos^2θ+1=-4sin^3θ+3sinθ
8sin^4θ-8sin^2θ+1=-4sin^3θ+3sinθ
8sin^4θ+4sin^3θ-8sin^2θ-3sinθ+1=0
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