小梁修先生（埼玉大学）が

［１］同じ円に内接するいくつかの正多角形

［２］同じ球に内接するいくつかの正多面体

の不可思議な関係について熱弁熱演．

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［１］同じ円に内接するいくつかの正多角形

　１辺の長さ１の正五角形の４頂点を選び，対角線２本を交差させるようにひく．交点はそれぞれの対角線を黄金比に内分するので，長さφの対角線は長さ１の線分と長さ１／φの線分に分けられる．これらをそれぞれａ，ｂとする．

　次に，対角線の交点と残った頂点を線で結ぶ．この線分の長さをｃとする．菱形が二等分されることになるが，菱形の短い方の対角線の長さがｃである．このとき，ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2が成り立つ．

　　ａ^2＋ｂ^2＝１＋１／φ^2＝（１０−２√５）／４

　　ｃ＝２ｓｉｎπ／５

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　ｓｉｎπ／５を求めよという問題は，正五角形との関係でよく取り扱われる有名なものである．

　　θ＝π／５，５θ＝πより，

　　ｃｏｓ（２θ＋３θ）＝−１

　　ｃｏｓ（３θ）＝ｃｏｓ（π−２θ）＝−ｃｏｓ（２θ）

　　４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2θ−１

　　４ｘ3−２ｘ^2−３ｘ＋１＝０

　　（ｘ−１）（４ｘ^2＋２ｘ−１）＝０

　　ｘ＝１，（１±√５）／４のなかで，題意に合うものは

　　ｃｏｓθ＝（１＋√５）／４

　　ｓｉｎθ＝（１０−２√５）^1/2／４

　　ｃ＝２ｓｉｎπ／５＝（１０−２√５）^1/2／２

したがって，

　　ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2

が成り立つ．

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　ところで，

　　ａ：１辺の長さ１の正五角形の辺の長さ＝半径１の円の半径

　　ｂ：半径１の円に内接する正十角形の辺の長さ

　　ｃ：半径１の円に内接する正五角形の辺の長さ

であるから，同じ円に内接する正五角形と正十角形の関係でもある．後日，図示してみたい．

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