【１】単位球に外接する多面体（ｖ，ｅ，ｆ）の体積

　　Ｖ≧ｅ／３・ｓｉｎπｆ／ｅ｛ｔａｎ^2πｆ／２ｅｔａｎ^2πｖ／２ｅ−１｝

　ｎ個の面をもつ３稜頂点多面体では，３ｖ＝２ｅであり，

　　（ｖ，ｅ，ｆ）＝（２ｎ−４，３ｎ−６，ｎ）

　　Ｖn≧（ｎ−２）ｓｉｎ２ωn｛３ｔａｎ^2ωn−１｝

　ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体では，３ｆ＝２ｅですから，

　　（ｖ，ｅ，ｆ）＝（ｎ，３ｎ−６，２ｎ−４）

　　Ｕn≧√３／２・（ｎ−２）｛３ｔａｎ^2ωn−１｝

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【２】単位球に内接する多面体（ｖ，ｅ，ｆ）の体積

　ｎ個の頂点をもつ多面体では，

　　Ｖn≦１／６・（ｎ−２）ｃｏｔωn｛３−ｃｏｔ^2ωn｝

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【３】等周比と多面体

　ｎ個の面をもつ多面体では，

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｎ−２）ｔａｎωn｛４ｓｉｎ^2ωn−１｝

　　等号は３稜頂点正多面体に対してのみ成り立つ．

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