ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体では，３ｆ＝２ｅですから，

　　（ｖ，ｅ，ｆ）＝（ｎ，３ｎ−６，２ｎ−４）

すなわち，球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となります．

　一方，ｎ個の面をもつ３稜頂点多面体では，３ｖ＝２ｅであり，

　　（ｖ，ｅ，ｆ）＝（２ｎ−４，３ｎ−６，ｎ）

となります．これらは互いにもとの多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体であり，表と裏の関係にある双対多面体となっています．

　　ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６　　　ｎ≧３

を導入すると，球面上に大きさの等しい球帽を埋め込むときの充填密度はωnを用いて，

　　ｄ≦ｎ／２（１−１／２ｃｏｓｅｃωn）

球面が等大球帽で被覆されるときの被覆密度は

　　Ｄ≧ｎ／２（１−１／√３ｃｏｔωn）

なる不等式を満たすことが求められます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとすると，

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．

　多面体の等周問題は，単位球に外接する多面体では，

　　Ｖ＝Ｓ／３

となることから，

　　Ｓ^3／Ｖ^2＝９Ｓ＝２７Ｖ

が成り立ちます．したがって，与えられた面数ｎをもつ多面体に関する等周問題は，最小の体積または最小の表面積をもち，球に外接するｎ面体を定めるという問題に帰着されます．

　等周比の点からいえば，５種の正多面体では正４面体が最も球に遠く，正２０面体が最も球に近いことになります．それでは，ｆ個の面をもつ多面体の中で等周比の最小値を与えるものはなんでしょうか？

　答えはｆ＝４，６，１２ではプラトンの正多面体，すなわち，正四面体，立方体，正十二面体が最小値をとります．しかし，ｆ＝８で等周比の最小値をあたえるものは正八面体ではありません（アルキメデスの反プリズム）．ｆ＝２０は未解決のまま残っています．

　三次元の問題はなかなか一筋縄ではいきませんが，凸ｎ面体の表面積をＳ，体積をＶとすれば，等周不等式は，

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｎ−２）ｔａｎ（ωn）（４ｓｉｎ^2（ωn）−１）

ただし，等号は３稜頂点多面体に対してのみ成り立つことに注意して下さい．これによって，３稜頂点多面体に対しては，正多面体（正４面体，立方体，正１２面体）が同じ面数の多面体の中でも最良となることが証明されるのです．

　一方，３角形多面体に関しては

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧５４（ｎ−２）（３ｔａｎ^2（ωn）−１）

また，これらを包括する一般的な不等式として

　　Ｓ^3／Ｖ^2≧９ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）であることが予想されています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝