【１】ニュートン数

　単位球に内接する正２０面体の稜の長さは，

　　√（４−ｃｏｓｅｃ^2（π／５））＝１．０５１４・・・

であり，１つの球は正２０面体の頂点において，１２個の他の球と接触することができます．

　ニュートン数を，球に限らず一般の図形Ｓに接することができるＳと合同な図形の最大数と定義して，ニュートン数を求めてみると，

　　　平面図形　　　　　　ニュートン数

　　正三角形　　　　　　　　　１２

　　正方形　　　　　　　　　　　８

　　正ｎ角形（≧５）　　　　　　６

　　ルーローの三角形　　　　　　７

　　定幅図形　　　　　　　　　≦７

　　平面充填可能な凸板　　　≦２１

　３０°３０°１２０°の角をもつ三角形のニュートン数は２１ですが，この三角形は正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様です（麻の葉文様）．日本では古くから障子や寄木細工のデザインなどとして用いられていますから，ご存じの方も多いと思います．

　一般に，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは

　　ｎ　 τn 　　ｎ　 τn

　　1 　　　　　 2 　　13 1130〜2233

　　2 6 　　14 1582〜3492

　　3 12 　　15 2564〜5431

　　4 24〜25 　　16 4320〜8313

　　5 40〜46 　　17 5346〜12215

　　6 72〜82 　　18 7398〜17877

　　7 126〜140 　　19 10668〜25901

　　8 240 　　20 17400〜37974

　　9 306〜380 　　21 27720〜56852

　　10 500〜595 　　22 49896〜86537

11 582〜915 23 93150〜128096

12 840〜1416 24 196560

が知られていて，４次元以上の高次元では，８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決です．

　ｎ次元球のニュートン数については，最密充填構造と深い関連があるのですが，その下界はコクセターの方法によって求められます．一方，上界は単体的密度限界ｄnで粗雑ながら押さえられます．

　単体的密度限界とは，稜の長さが２ｒのｎ次元正則単体の頂点に半径ｒの球を描いたときの充填密度ｄn，外接球Ｒを描いたときの単体における球の被覆密度Ｄnのことであって，平面の場合は既に紹介した

　　ｄ2＝π／√１２＝０．９０６８・・・

　　Ｄ2＝２π／√２７＝１．２０９・・・

空間の場合は，

　　ｄ3＝√１８（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝０．７７９７・・・

　　Ｄ3＝９√３／２（ａｒｃｃｏｓ（１／３）−π／３）＝１．４３１・・・

となります．

　１９５８年，ロジャースは，四面体配置から空間充填率の上限を７７．９７％とはじき出しました．四面体配置は，３次元で相互に接するように球を配置するときの最大数となる配置ですが，全空間を充たすことはできないので，空間充填率の上限と考えられるわけです．

　任意のｎ次元空間においても，単体は空間充填体でないという都合の悪い事情が現れますので，充填密度はｄnより決して大きくはなく，被覆密度はＤnより小さくないので，これを使って，上側からの粗い評価をすると，

　　ｎ　 τn

　　1 　　　　　 2

　　2 6

　　3 12

　　4 24〜26

　　5 40〜48

　　6 72〜85

　　7 126〜146

　　8 240〜244

となり，現在知られている上界よりほんの少し大きい方に偏っています．

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【２】第２ニュートン数

　ニュートン数は第１近接の最大数をさすが，第２ニュートン数は第１近接と第２近接の合計の最大数である．同様に高次ニュートン数Ｎkが定義される．

　円の場合，Ｎ1＝６，Ｎ2＝１８であるが，ｋ≦１３に対して

　　Ｎk＝３ｋ（ｋ＋１）

と予想されている．しかし，

　　Ｎ14＝３・１４・１５＝６３０であるが，

実際はＮ14≧６３６が示されている．

　ｋ→∞のとき，Ｎk／ｋ^2→２π／√３

が成り立つ．

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