単位球に内接する正２０面体の稜の長さは，

　　√（４−ｃｏｓｅｃ^2（π／５））＝１．０５１４・・・

であり，１つの球は正２０面体の頂点において，１２個の他の球と接触することができます．一般にｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれています．

　ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，５次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ4＝２４，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０の５つだけなのです（τ4＝２４は２００３年，ロシアの数学者ミュージンにより証明された）．

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【１】ニュートン数

　ニュートン数を，球に限らず一般の図形Ｓに接することができるＳと合同な図形の最大数と定義して，ニュートン数を求めてみると，

　　　平面図形　　　　　　ニュートン数

　　正三角形　　　　　　　　　１２

　　正方形　　　　　　　　　　　８

　　正ｎ角形（≧５）　　　　　　６

　　ルーローの三角形　　　　　　７

　　定幅図形　　　　　　　　　≦７

　　平面充填可能な凸板　　　≦２１

　３０°３０°１２０°の角をもつ三角形のニュートン数は２１ですが，この三角形は正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様（麻の葉文様）です．日本では古くから障子や寄木細工のデザインなどとして用いられていますから，ご存じの方も多いと思います．

　円以外の凸平面図形に対するニュートン数の研究は，フェイェシュ・トートにより始められ，

　　Ｎ（Ｓ）≦（４＋２π）Ｄ（Ｓ）／Ｗ（Ｓ）＋２＋Ｗ（Ｓ）／Ｄ（Ｓ）　　　（Ｄ：diameter，Ｗ：width）

が与えられています．また，

　　Ｎ（Ｓ）≧τd

が成り立つことが証明されています．すなわち，球が最も密集を好まない．

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【２】ハドヴィガー数（平行移動の接吻数）

　ハドヴィガー数は，平行移動で一般の図形Ｓに接することができるＳと合同な図形の最大数と定義されます．ハドヴィガー数については

　　ｄ（ｄ＋１）≦Ｈ（Ｓ）≦３^d−１

が成り立ちます．

　　　立体図形　　　　　　ハドヴィゲール数

　　正四面体　　　　　　　　　１８

　　立方体　　　　　　　　　　２６

　ｄ立方体ではＨ（Ｓ）＝３^d−１ですが，

｛３，３｝（１０１）

｛３，３，３｝（１００１）

｛３，３，３，３｝（１０００１）

｛３，３，３，３，３｝（１００００１）

の双対ではｄ（ｄ＋１）が示されます．

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