コラム「４次元正２４胞体の木工製作」では，エンドレスキューブのように連続回転する様子を掲げた．ところで，４次元正８胞体の点心模型は，白銀菱形六面体４つにより菱形１２面体を作る．これが正８胞体の表側で，裏側も考えれば正８胞体になる（４ピース）．

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【１】白銀菱形六面体

　各面の菱形の対角線の長さの比が白銀比１：√２の白銀菱形六面体には２種類あり，細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれています．菱形１２面体を４等分した白銀菱形六面体はacuteの方なのですが，細くて尖っているため木工製作には向いていません．

　そこで，工藤の三角錐（あるいはc-squadron, pentadron）で白銀菱形六面体を作ることを考えます．下の写真は工藤の三角錐６個からなる白銀菱形六面体です．

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【２】菱形１２面体（４次元正８胞体）

　したがって，

(1)工藤の三角錐が２４個集まれば，菱形１２面体（４次元正８胞体）となります．下の写真は中川宏さん製作の工藤三角錐２４個からなる菱形１２面体です．

　同様に，

(2)c-squadron９６個　→　菱形１２面体

(3)pentadron１９２個　→　菱形１２面体

により，３次元（４次元）空間を隙間なく埋める周期的構造を作ることができます．菱形１２面体は４次元立方体の３次元空間への投影図というわけです．

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【補】デーン・シドラーの有限分解合同定理

　デーンは１９０１年に分解合同となるための必要条件だけを示した．それはヒルベルトの第３問題に対する答えになっていた．シドラーはデーンの条件が十分条件でもあることを示した．デーン・シドラーの定理は２つの多面体が分解合同になるための必要十分条件を与えるものである．ハドヴィゲールはこの問題を平行移動に置き換えて得られる問題についても研究した．

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