【１】素数が無限に存在すること（ユークリッド）

　素数は有限個しかないと仮定する．ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn

　　Ｎ＝ｐ1・ｐ2・・・ｐn＋１

とおく．Ｎをｐ1，ｐ2，・・・，ｐnで割ると１余る．

　Ｎは新しい素数であるか合成数であるか，いずれか一方であるが，いずれにせよ，素数は有限個しかないという仮定に反する．

［１］Ｎが新しい素数であるとすれば，素数は有限個しかないという仮定に反する．

［２］Ｎが合成数であるとすれば，ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn以外の新しい素因数を含んでいなければならない．

　素数は２，３，５の３つしかないと仮定する．

　　Ｎ＝２・３・５＋１＝３１　　（新しい素数）

　素数は３，５，７の３つしかないと仮定する．

　　Ｎ＝３・５・７＋１＝１０６＝２・５３　　（非素数）→はじめの３つと異なる素数が出現する．

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　ｐ（１）からはじめて新たな素数列ｐ（ｎ）を以下のように作っていく．

　　２＋１＝３

　　２・３＋１＝７

　　２・３・７＋１＝４３

　　２・３・７・４３＋１＝１３・１３９

　　２・３・７・４３・１３＋１＝５３・４４３

　　２・３・７・４３・１３・５３＋１＝５・２４８８６７

　　ｐ（ｎ＋１）はｐ（１）・ｐ（２）・・ｐ（ｎ）の最小因子

　これらの素数をリストに加え，過程を繰り返すことによって多くの素数を生み出すことができる．こうして素数は無限個存在することがわかるが，大きさの順序はバラバラであって，

　　２→３→７→４３→１３→５３→５→→→にすべての素数が現れるかどうかは未解決の問題である（すべての素数を生み出すわけではないと予想される）．

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