【１】円分多項式

　　ｚ^5−１＝（ｚ−１）（ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１）＝０

　ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１＝０，ｚ≠０より，両辺をｚ^2で割ると

　　ｚ^2＋１／ｚ^2＋（ｚ＋１／ｚ）＋１＝０

　　（ｚ＋１／ｚ）^2＋（ｚ＋１／ｚ）−１＝０

　Ｘ＝ｚ＋１／ｚとおくと，

　　Ｘ^2＋Ｘ−１＝０，Ｘ＝（−１±√５）／２

　　Ｘ^2＝（３±√５）／２，ｘ^2−４＝（−５±√５）／２

　　ｚ^2−Ｘｚ＋１＝０，ｚ＝（Ｘ±√（Ｘ^2−４）／２

より，

　　ｚ＝（−１＋√５）／４＋ｉ｛（５＋√５）／２｝^1/2／２

　　ｚ＝（−１−√５）／４＋ｉ｛（５−√５）／２｝^1/2／２

の２虚根が得られる．前者はｔａｎ（２π／５），後者はｔａｎ（４π／５）に対応している．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】円分多項式の解

［１］Φ1（ｘ）＝ｘ−１＝０

　　ｘ＝１

［２］Φ2（ｘ）＝ｘ＋１＝０

　　ｘ＝−１

［３］Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１＝０

　　ｘ＝（−１±ｉ√３）／２＝ω，ω^2

［４］Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１＝０

　　ｘ＝±ｉ

［５］Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１＝０

　　ｘ＝（１±ｉ√３）／２

［６］Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

　ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式

　　ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０

の両辺をｘ^2でわり，

　　ｘ^2＋ｘ＋１＋１／ｘ＋１／ｘ^2＝０　　（相反方程式）

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）

と変数変換すると２次方程式

　　ｙ^2＋ｙ−１＝０

に帰着され，

　　ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）

　　ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４

が得られる．

　正三角形。正方形，正六角形に較べ，正５角形はなぜ描くのが難しいのかという問いに対するい答えは円分多項式にあるというわけですが，作図可能であることを示すためには２次方程式に帰着させればよく，作図方法を見つける必要はありません．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝