ｍ≦６−１２／ｆ＜ｍ＋１

とおいて，どの面もｍ角形またはｍ＋１角形からなる多面体をメディアル多面体と呼びます．６−１２／ｆが多面体の平均辺数になっているからです．

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【１】メディアル多面体

ｆ　　　　ｆ3 　　　　ｆ4 　　　ｆ5 　　　ｆ6

４　　　　４

５　　　　２　　　　　３

６　　　　　　　　　　６

７　　　　　　　　　　５　　　　２

８　　　　　　　　　　４　　　　４

９　　　　　　　　　　３　　　　６

10　　　　　　　　　　２　　　　８

11　　　　　　　　　　１　　　１０

12　　　　　　　　　　　　　　１２

13　　　　　　　　　　　　　　１２　　　　１

14　　　　　　　　　　　　　　１２　　　　２

15　　　　　　　　　　　　　　１２　　　　３

　ｆ≧１２のとき，メディアル多面体の構成は５^12６^(f-12)になります．ｆ＝１１のときｆ4＝１，ｆ5＝１０，ｆ＝１３のときｆ5＝１２，ｆ6＝１となるのですが，ｆ＝１１，１３のときメディアル多面体は存在しません．

　また，４≦ｆ≦１５（ｆ≠１１，１３）のとき，メディアル多面体はちょうどひとつあります．とくにｆ＝４，６，１２に対し，メディアル多面体は正四面体，立方体，正１２面体になっています．ｆ≧１６のとき，メディアル多面体は少なくとも２種類あります．

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【２】オイラーの多面体定理の応用

　凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈されます．元の立体の頂点の数ｖと面の数ｆを互いに入れ替えた立体を双対多面体といいますが，この式は頂点と面に関しての双対性も表現しているのです．

　さらに，各々の面の辺数を

　　ｐ1，・・・，ｐf（≧３）

頂点に結合する辺数を

　　ｑ1，・・・，ｑv（≧３）

で表すと，明らかに

　　３ｆ≦ｐ1＋・・・＋ｐf＝２ｅ

　　３ｖ≦ｑ1＋・・・＋ｑv＝２ｅ

ここで，オイラーの多面体定理より，３ｆ＋３ｖ＝３ｅ＋６ですから，

　　ｅ＋６≦３ｆ≦２ｅ

　　ｅ＋６≦３ｖ≦２ｅ

　したがって，面が何角形になるかを求めてみると，これはもちろん１通りではありませんが，１本の辺は２個の面によって共有されることを考慮し，各頂点に平均してｐ~角形がｑ~面会するとすると，

　　ｐ~ｆ＝２ｅ，ｑ~ｖ＝２ｅ　　　（握手定理）

より，その平均辺数ｐ~と平均会合面数ｑ~については

　　ｐ~＝２ｅ／ｆ≦６−１２／ｆ＜６

　　ｑ~＝２ｅ／ｖ≦６−１２／ｖ＜６

という不等式が導かれます．

　各面の辺数の平均は＜６なのですが，２次元以上ですべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつことが導き出されます．

　つぎに，３次元立体では必ず頂点に結合する辺の個数が３の頂点か３角形の面をもつことを示します．

　ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　i)Σｎｆn＝Σｎｖn

　ii)Σｆ2n+1は偶数

　iii)ｖ3＋ｆ3＞０

を順に示していきます．

　（答）各辺は２個の頂点をもつから，Σｎｖn＝２Ｅ

　　　　また，各辺では２枚の面が交わるからΣｎｆn＝２Ｅ

　（答）ｉ）より，Σ（２ｎ＋１）ｆ2n+1＝（偶数）

　　　　したがって，Σｆ2n+1も偶数

　（答）Ｅ＝Σｅn，Ｖ＝Σｖn，Ｆ＝Σｆn，Σｎｆn＝Σｎｖn＝２Ｅ

　　　　もしｖ3＝０，ｆ3＝０ならば，

　　　　２Ｅ＝４ｖ4＋５ｖ5＋・・・≧４Ｖ　同様に，２Ｅ≧４Ｆ

　　　　これより，Ｖ−Ｅ＋Ｆ≦Ｅ／２＋Ｅ／２−Ｅ＝０

　　　　これはオイラーの多面体定理：Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２に矛盾するから，

　　　　ｖ3，ｆ3のうち，少なくとも１つは０でない．

　もっとよい評価を与えると

　　ｆ3＋ｆ4＋・・・＝ｆ，３ｆ3＋４ｆ4＋・・・＝２ｅ

　　ｖ3＋ｖ4＋・・・＝ｖ，３ｖ3＋４ｖ4＋・・・＝２ｅ

したがって，

　　ｆ3−ｆ5−２ｆ6−・・・＝４ｆ−２ｅ

　　ｖ3−ｖ5−２ｖ6−・・・＝４ｖ−２ｅ

　オイラーの多面体定理より，４ｆ＋４ｖ＝４ｅ＋８ですから，これらを加えると，

　　ｆ3＋ｖ3＝８＋（ｆ5＋ｖ5）＋２（ｆ6＋ｖ6）＋・・・≧８

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【３】ｆ≠１１

　　３ｆ＜４＋５・１０＝５４＝２ｅ

　　３ｖ＜２ｅ

より，ｅ＝２７，ｖ＜１８

　したがって，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＜１８−２７＋１１＝２

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【４】ｆ≠１３

　　３ｆ＜５・１２＋６＝６６＝２ｅ

　　３ｖ＜２ｅ

より，ｅ＝３３，ｖ＜２２

　したがって，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＜２２−３３＋１３＝２

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【５】双対問題

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

は頂点と面に関しての双対性を表現しています．これより，

　　ｅ＋６≦３ｆ≦２ｅ

　　ｅ＋６≦３ｖ≦２ｅ

　　ｐ~＝２ｅ／ｆ≦６−１２／ｆ＜６

　　ｑ~＝２ｅ／ｖ≦６−１２／ｖ＜６

という不等式が導かれますが，これらもすべて頂点と面に関する双対性の表現になっています．

　そこで，

　　ｍ≦６−１２／ｖ＜ｍ＋１

とおいて，次数ｍまたはｍ＋１をもつ頂点からなる多面体の配置の問題も考えられます．

　この問題は前問の双対ですから，前問同様，ｖ＝１１，１３の多面体は存在しないのですが，たとえば，球面上の最密円配置の問題は最疎円被覆問題に，３稜頂点多面体（正４面体，立方体，正１２面体）の果たす役割は３角形多面体（正４面体，正８面体，正２０面体）に変わってきます．

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