【１】第２種スターリング数

　シェフェ数はｎ個の数字を３つのグループＡ，Ｂ，Ｃに分ける方法の総数で，ただし，Ａ，Ｂは少なくとも１つの数字を含むものとしたものですが，ここでは，ｎ個の数字を３つのグループＡ，Ｂ，Ｃに分ける方法の総数で，ただし，各グループＡ，Ｂ，Ｃは少なくとも１つの数字を含むものとします．

　もっと一般に，１≦ｋ≦ｎとし，ｎ個の数字をｋ個のグループに分ける方法の総数で，ただし，各グループは少なくとも１つの数字を含むものの数をnＳkとします．

　nＳkは第２種スターリング数と呼ばれるもので，漸化式

　　n+1Ｓk＝nＳk-1＋ｋnＳk

が成り立ちます．

　nＳ1＝１を出発点として

　　nＳ2＝２^n-1−１

　　nＳ3＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２

　　nＳ4＝４^n-1／６−３^n-1／２＋２^n-2−１／６

一般項は

　　nＳk＝１／ｋ！Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

となります．

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【２】第２種スターリング数（nＳ3の場合）

［１］Ａ，Ｂ，Ｃへの割り付け全体　　３^n

［２］Ａを除いてＢ，Ｃに割り付ける　　２^n

［３］Ｂを除いてＡ，Ｃに割り付ける　　２^n

［４］Ｃを除いてＡ，Ｂに割り付ける　　２^n

［５］Ａだけに割り付ける　　１

［６］Ｂだけに割り付ける　　１

［７］Ｃだけに割り付ける　　１

　　（３^n−３・２^n＋３）／３！＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２

　包除原理を用いると，一般項は

　　nＳk＝１／ｋ！Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

となることがわかります．

　　nＳ2＝２^n-1−１

　　nＳ3＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２

　　nＳ4＝４^n-1／６−３^n-1／２＋２^n-2−１／６

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