【１】多重比較とシェフェ数

　３群以上で多重比較を行うとき，次の場合を区別しておく必要があります．

　　(1)あらかじめ決めておいた特定の１対に限定して比較する（フィッシャー法）

　　(2)対照群と他群を対にして比較する（ダネット法）

　　(3)２群を対にして，すべての対について比較する（チューキー法）

　　(4)２群の比較ばかりでなく，任意の群を合併したものを含め，すべての対比を行う（シェフェ法）

　たとえば，５群の平均値μ1,μ2,μ3,μ4,μ5の比較を考える場合，μ3-μ4のような１対１の対比（対比較）のみならず，(μ1+μ2+μ3)/3-(μ4+μ5)/2のような３対２の対比が必要になることもあります．すなわち，多重比較には対比較と線形比較の２種類の方法があり，対比較にはフィッシャー法（特定の比較），ダネット法（基準との比較），チューキー法（あらゆる対の比較）などがあり，線形比較のための検定法として，シェフェ法（あらゆる比較）があります．

　すべての対比というと(μ1+3μ3+μ5)-(0.5μ2+4.5μ4)のような意味付け不明のものまで無限に含まれるので，ここでは実際面からいって意味のある対比に絞ってその組み合わせをすべて数えあげてみます．ｇ群の多重比較の場合，対比する組合せ数を求めると，フィッシャー法で１，ダネット法でｇ−１，チューキー法で，nC2=g(g-1)/2，シェフェ法では(3^g+1)/2-2^g 通りになります．チューキー数は多項式関数的に増加しますが，シェフェ数は意味付け可能な組合せだけでも，指数関数的に増加することが理解されます．

多重比較　　　　　 ３群　　　４群　　　５群　　　６群　　ｇ群

フィッシャー数　　　1　　　　1　　　　　1　　　　1　　　　1

ダネット数　　　　　2　　　　3　　　　　4　　　　5　　　　g-1

チューキー数　　　　3　　　　6　　　　 10　　　 15　　　g(g-1)/2

シェフェ数　　　　　6　　　 25　　　　 90　　　301　 (3^g+2^(g+1)+1)/2

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【２】シェフェ数（再考）

　前節で調べた方法はあまり感心できるものではありません．包除原理を用いることにしましょう．

［１］Ａ，Ｂ，Ｃへの割り付け全体　　３^n

［２］Ａを除いてＢ，Ｃに割り付ける　　２^n

［３］Ｂを除いてＡ，Ｃに割り付ける　　２^n

［４］Ｃだけに割り付ける，すなわち［２＋３］の共通部分　　１

　シェフェ数は前者と後者の順序は考えないわけですから，これらを足して２で割った値になることがわかります．

　　（３^n−２・２^n＋１）／２！＝３^n-1／２−２^n＋１／２

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