ユークリッドは３つの角を２等分することで内心を見つけたのですが，モーリーは３つの角を３等分するとどうなるかを問題にして，モーリーの定理「任意の三角形において，各内角の３等分線の隣同士の交点を結んで得られる三角形は正三角形である」を発見しました（１８９９年）．１８９９年まで誰一人としてこの正三角形の存在に気づかなかったのです．

　モーリーは（各内角の３等分線でなく）三角形に内接するカージオイドの研究する過程で，この定理を発見しました．カージオイドの中心は正三角形を描き，中心が正三角形の頂点のとき，４点で接することがわかっています．

　モーリーの三角形の１辺の長さは，

　　８Ｒ・ｓｉｎα／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎγ／３

で与えられます．

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　今後，何回かにわたってこれを証明したいと思いますが，与式には外接円の半径Ｒが含まれています．内心はモーリーの三角形の内部にありますが，外心はそうとは限りません．また，モーリーの三角形の重心は三角形の五心とは一致しません．早速脱線しますが，・・・

（１）ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦３√３／８

　極大値を計算すると，３√３／８が得られる．なお，この不等式は三角形の外接円，内接円および面積をＲ，ｒ，△とすれば，

　　ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

また，正弦法則

　　ａ／ｓｉｎα＝ｂ／ｓｉｎβ＝ｃ／ｓｉｎγ＝２Ｒ

より，

　　ａｂｃ≦３√３Ｒ^3

と同値である．

（２）ｓｉｎαｓｉｎβｓｉｎγ≦（３√３／２π）^3αβγ

　このことから，三角形のブロカールの角ωが，

　　８ω^3＜αβγ

を満たすことが証明できる．

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