【１】アイゼンシュタイン三角形

　ピタゴラス三角形とよく似た三角形に三辺の長さが整数であって，二辺ａ，ｂのあいだの角が１２０°である鈍角三角形があります．一松信先生はこの三角形をアイゼンシュタイン三角形と呼んでいますが，この三角形はピタゴラスの定理の拡張である余弦定理ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ・ｃｏｓＣより，

　　ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2

を満たします．

　この一般解は

　　ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝ｋ（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

と表現でき，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，５，７），（７，８，１３），（５，１６，１９），・・・など無限に存在します．

　ａ／ｃ＝ｘ，ｂ／ｃ＝ｙとおくと，ピタゴラス三角形は円ｘ^2＋ｙ^2＝１に，アイゼンシュタイン三角形は楕円ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝１になります．この楕円上のすべての有理点は，

　　ｘ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ＋ｔ^2），ｙ＝（２ｔ＋ｔ^2）／（１＋ｔ＋ｔ^2）

とパラメトライズされます．

　なお，ディオファントスはａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2を満たすａ，ｂ，ｃをとり，（ｍ，ｎ）＝（ｃ，ａ），（ｃ，ｂ），（ｃ，ａ＋ｂ）の三組からは同一面積（ａ＋ｂ）ａｂｃの直角三角形ができることを示しています．

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【２】アイゼンシュタイン三角形の生成行列

　　　　［−３，−４，４］

　　Ｑ＝［−４，−３，４］

　　　　［−６，−６，７］

とし，第１象限上のベクトル（ａ，ｂ，ｃ）’に対して，第２象限上のベクトルＡ＝（−ａ，ａ＋ｂ，ｃ）’，Ｂ＝（−ａ−ｂ，ａ，ｃ）’，第３象限上のベクトルＣ＝（−ｂ，−ａ，ｃ）’，第４象限上のベクトルＤ＝（ｂ，−ａ−ｂ，ｃ）’，Ｅ＝（ａ＋ｂ，−ｂ，ｃ）’とおくと，ＱＡ，ＱＢ，ＱＣ，ＱＤ，ＱＥはすべてアイゼンシュタイン三角形になります．

　この行列も

　　Ｑ^-1＝Ｑ，｜Ｑ｜＝−１

を満たします．なお，この変換の裏にも

　　［ｍ’］＝［１，−２］［ｍ］

　　［ｎ’］　［０，−１］［ｎ］

が潜んでいます．

　ピタゴラス三角形の場合，先祖は（３，４，５）だけでしたが，アイゼンシュタイン三角形の先祖は（３，５，７）と（８，７，１３）の２組あり，２組の先祖からアイゼンシュタイン三角形が網羅されます．

　なお，ここでは計算方法だけを紹介しましたが，これらの行列Ｐ，Ｑが出てくる舞台裏に隠されている数学的な本質については

　　［参］小林吹代「ピタゴラス数を生み出す行列のはなし」ベレ出版

に詳細があります．この金鉱脈について知りたい方はぜひ購読（お買い上げのうえ読破）されるとよいでしょう．

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