ねじれ重角錐に対する定式化はできているのだが，ねじれ重角錐台に対してはそれがなされていない．もっと悪いことに，空間充填図形であるという条件も欠いている．

　５^12６^2型のねじれ重角錐台は一意には決まらない．実はこの問題では，球に外接し，さらに球の中心と各面の重心を結ぶ直線がその面と直交するという条件をつけないと解けないらしい（リンデレーフの必要条件）．内接球との接点は五角形面の重心なのである．

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【１】ゴールドバーグの１４面体の計量

　ねじれ重角錐（ｎ^2５^2n）の重心を（０，０，０），単位球が内接するとして，五角形の頂点をＡ，辺ＣＤが正ｎ角形と組み合わさる辺とします．そして，空間座標を

　　Ａ（０，ｙ3，ｚ3）

　　Ｂ（−ｘ2，ｙ2，ｚ2）

　　Ｃ（−ｘ1，ｙ1，１）

　　Ｄ（ｘ1，ｙ1，１）

　　Ｅ（ｘ2，ｙ2，ｚ2）

また，放射線の中心を

　　Ｆ（０，０，ｚ0）にとります（ｚ3＝−ｚ2）．

５角形面の重心は

　　Ｇ（０，Ｙ，Ｚ）

　　Ｙ＝（２ｙ1＋２ｙ2＋ｙ3）／５，Ｚ＝（２ｚ1＋２ｚ2＋ｚ3）／５

で与えられます．Ｙ^2＋Ｚ^2＝１．

　これら５点をｘ＝０平面上に投影すると

ｙ1／（ｚ0−１）＝ｙ2／（ｚ0−ｚ2）

＝ｙ3／（ｚ0−ｚ3）＝Ｙ／（ｚ0−Ｚ）＝Ｚ／Ｙ

　また，（０，（ｙ2＋ｙ3）／２，０）もｘ＝０平面上にあるので，∠ＯＦＡ＝θとすると

ｙ1／（ｚ0−１）＝ｙ2／（ｚ0−ｚ2）

＝ｙ3／（ｚ0−ｚ3）＝Ｙ／（ｚ0−Ｚ）＝Ｚ／Ｙ

＝（ｙ2＋ｙ3）／２ｚ0＝ｔａｎθ

より，

　　ｚ0＝１／ｓｉｎθ，Ｙ＝ｃｏｓθ，Ｚ＝ｓｉｎθ

　また，ｚ＝０平面上に投影すると，（ｘ2／２，（ｙ2＋ｙ3）／２，０）も統制されるので，

　　ｘ1／ｙ1＝ｘ2／ｙ2＝ｔａｎ（π／ｎ）

　　ｘ2／（ｙ2＋ｙ3）＝ｔａｎ（π／２ｎ）

　さらに，ｘ＝０平面上の投影図より（これはＹ^2＋Ｚ^2＝１と同じかもしれないが）

　　ｙ1^2＝（Ｙ−ｙ1）^2＋（Ｚ−１）^2

より，

　　ｙ1＝（１−ｓｉｎθ）／ｃｏｓθ

　　ｙ2＋ｙ3＝２ｚ0ｔａｎθ＝２／ｃｏｓθ

　　ｘ2＝（ｙ2＋ｙ3）ｔａｎ（π／２ｎ）＝２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθ

　　ｙ2＝ｘ2／ｔａｎ（π／ｎ）＝２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθｔａｎ（π／ｎ）

　　ｙ3＝２ｚ0ｔａｎθ−ｙ2

　　Ｙ＝（２ｙ1＋２ｙ2＋ｙ3）／５

　　　＝（２ｙ1＋ｙ2＋２ｚ0ｔａｎθ）／５＝ｃｏｓθ

に代入すると

　　２（１−ｓｉｎθ）／ｃｏｓθ＋２ｔａｎ（π／２ｎ）／ｃｏｓθｔａｎ（π／ｎ）＋２／ｃｏｓθ＝５ｃｏｓθ

に帰着されます．これはｃｏｓθに関する４次方程式になり，数値解は

　　ｎ＝４のとき，θ＝２８．２０°

　　ｎ＝５のとき，θ＝２６．５６°

　　ｎ＝６のとき，θ＝２５．６６°

で与えられます．

　　M. Goldberg: The isoperimetric problem for polyhedra, Tohoku Math. J. 40, 226-236(1935)

の数値解とは約１°の差がありますが，いまのところ原因不明です．

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