［１］＝ｃｏｔ（π／ｎ）

　　［２］＝ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）

として，ねじれ重角錐の座標を

　　（Ｈ＋ｈ／２，０，０）

　　（ｈ／２，１，［１］）

　　（ｈ／２，−１，［１］）

　　（−ｈ／２，０，［２］）

にとる．

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【１】ねじて重角錐におけるＳ^3／Ｖ^2比の最小化

［１］底面が辺の長さ２の正ｎ角形である反角柱（底面積ｎｃｏｔ（π／ｎ），高さｈ）を考える．

　その上に載る角錐の高さＨは

　　Ｈ：（Ｈ＋ｈ）＝ｃｏｔ（π／ｎ）：ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）

　　Ｈｃｏｓｅｃ（π／ｎ）＝（Ｈ＋ｈ）・ｃｏｔ（π／ｎ）

　　Ｈ（ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）−ｃｏｔ（π／ｎ））＝ｈｃｏｔ（π／ｎ）

　角錐の体積と側面積は

　　Ｖ1＝２／３・ｎｃｏｔ（π／ｎ）・Ｈ

　　Ｓ1＝２ｎ・｛Ｈ^2＋ｃｏｔ^2（π／ｎ）｝^1/2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］反角柱の断面は２ｎ角形で，０≦ｔ≦１として，辺の長さは２ｔ，２（１−ｔ）で与えられる．中心軸からの距離は，それぞれ

　　ｔ・ｃｏｔ（π／ｎ）＋（１−ｔ）ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）

　　（１−ｔ）・ｃｏｔ（π／ｎ）＋ｔ・ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）

であるから，２ｎ角形の面積は

　　ｔ^2ｃｏｔ（π／ｎ）＋ｔ（１−ｔ）ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）

　＋（１−ｔ）^2ｃｏｔ（π／ｎ）＋ｔ（１−ｔ）ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）

のｎ倍である．

　　（１−２ｔ＋２ｔ^2）→（ｔ−ｔ^2＋２／３・ｔ^3｜(0,1)＝２／３

　　（２ｔ−２ｔ^2）→（ｔ^2−２／３ｔ^3）＝１／３

より　反角柱の体積と側面積は

　　Ｖ2＝｛２／３・ｃｏｔ（π／ｎ））＋１／３・ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）｝ｎｈ

　　Ｓ2＝２ｎ・｛ｈ^2＋（ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）−ｃｏｔ（π／ｎ））^2｝^1/2

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　　［１］＝ｃｏｔ（π／ｎ）

　　［２］＝ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）

　　［３］＝ｃｏｓｅｃ（π／ｎ）−ｃｏｔ（π／ｎ）と略す．

　　Ｈ＝ｈ［１］／［３］

　　Ｖ1＝２／３・ｎ［１］・ｈ［１］／［３］

　　Ｓ1＝２ｎ・｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^1/2

　　Ｖ2＝｛２／３・［１］＋１／３・［２］｝ｎｈ

　　Ｓ2＝２ｎ・｛ｈ^2＋［３］^2｝^1/2

Ｖ＝Ｖ1＋Ｖ2

＝２／３・ｎｈ［１］^2／［３］＋｛２／３・［１］＋１／３・［２］｝ｎｈ

Ｖ’＝２／３・ｎ［１］^2／［３］＋｛２／３・［１］＋１／３・［２］｝ｎ

Ｓ＝Ｓ1＋Ｓ2

＝２ｎ・｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^1/2＋２ｎ・｛ｈ^2＋［３］^2｝^1/2

Ｓ’＝２ｎ・ｈ［１］^2／［３］^2｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^-1/2＋２ｎｈ｛ｈ^2＋［３］^2｝^-1/2

　　３Ｓ’Ｖ−２ＳＶ’＝０

より，Ｓ^3／Ｖ^2が最小値をとるｈを求めると

　　３Ｓ’Ｖ＝３Ｓ’・｛２／３・ｎｈ［１］^2／［３］＋｛２／３・［１］＋１／３・［２］｝ｎｈ｝

　　２ＳＶ’＝２Ｓ・｛２／３・ｎ［１］^2／［３］＋｛２／３・［１］＋１／３・［２］｝ｎ｝

　　３Ｓ’ｈ＝２Ｓ

３ｈ｛２ｎ・ｈ［１］^2／［３］^2｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^-1/2＋２ｎｈ｛ｈ^2＋［３］^2｝^-1/2｝＝２｛２ｎ・｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^1/2＋２ｎ・｛ｈ^2＋［３］^2｝^1/2｝

３ｈ^2｛［１］^2／［３］^2｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^-1/2＋｛ｈ^2＋［３］^2｝^-1/2｝＝２｛｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^1/2＋｛ｈ^2＋［３］^2｝^1/2｝

｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^1/2｛ｈ^2＋［３］^2｝^1/2をかけると

３ｈ^2｛［１］^2／［３］^2｛ｈ^2＋［３］^2｝^1/2＋｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^1/2｝

＝２｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝｛ｈ^2＋［３］^2｝^1/2＋｛ｈ^2＋［３］^2｝｛ｈ^2［１］^2／［３］^2＋［１］^2｝^1/2｝

より，ｈを求める．

　なお，外接球もつための条件は

　　（ｈ／２）^2＋ｃｏｓｅｃ^2（π／ｎ）＝（Ｈ＋ｈ／２）^2

である．

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