デューラーの八面体が内接球をもつための条件を検算してみたい．

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　まず，切頂前の菱形六面体について，菱面体の中心の座標は（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）であるから，内接球をもつとしたら，その中心は（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）であり，半径はｚ／２となる．

　念のため，

　　（０，０，０），（ｄ，１，０），（ｘ，０，ｚ），（ｄ＋ｘ，１，ｚ）

を含む平面の方程式を，

　　Ｘ＋ｂＹ＋ｃＺ＝０

とおくと，

　　ｄ＋ｂ＝０，ｘ＋ｃｚ＝０　→　ｂ＝−ｄ，ｃ＝−ｘ／ｚ

より

　　Ｘ−ｄＹ−ｘ／ｚＺ＝０

となる．

　中心（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）から，この平面までの距離は

　　｜ｄ＋ｘ／２−ｘ／２｜／√（１＋ｄ^2＋（ｘ／ｚ）^2）

　＝ｄ／√（１＋ｄ^2＋（ｘ／ｚ）^2）

　　ｘ＝（ｄ^2−１）／ｄ

　　ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３−１／ｄ^2

より，

　　（ｘ／ｚ）^2＝（ｄ^2−１）^2／（３ｄ^2−１）

　　１＋ｄ^2＋（ｘ／ｚ）^2＝４ｄ^4／（３ｄ^2−１）＝４ｄ^4／ｄ^2ｚ^2＝４ｄ^2／ｚ^2

　中心（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）から，この平面までの距離は

　　ｄｚ／２ｄ＝ｚ／２

が成り立つので（実際に内接するかどうかまではわからないが）各平面（の延長）までの距離は等しい．

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　次に，切頂によってできる正三角形面までの距離を求めてみたい．

　　（ｔｄ，ｔ，０），（ｔｄ，−ｔ，０），（ｔｘ，０，ｔｚ）

を含む平面の方程式を，

　　Ｘ＋ｂＹ＋ｃＺ＝Ｄ

とおくと，

　　ｔｄ＋ｂｔ＝Ｄ，ｔｄ−ｂｔ＝Ｄ，ｔｘ＋ｃｔｚ＝Ｄ　→　ｂ＝０，Ｄ＝ｔｄ，ｃ＝（ｄ−ｘ）／ｚ

より

　　Ｘ＋（ｄ−ｘ）／ｚＺ＝ｔｄ

となる．

　中心（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）から，この平面までの距離は

　　｜ｄ＋ｘ／２＋（ｄ−ｘ）／２−ｔｄ｜／√（１＋（（ｄ−ｘ）／ｚ）^2）

　＝｜（３／２−ｔ）ｄ｜／√（１＋（（ｄ−ｘ）／ｚ）^2）

　　ｘ＝（ｄ^2−１）／ｄ

　　ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３−１／ｄ^2

より，

　　ｄ−ｘ＝１／ｄ

　　（（ｄ−ｘ）／ｚ）^2＝１／（３ｄ^2−１）

　　１＋（（ｄ−ｘ）／ｚ）^2＝３ｄ^2／（３ｄ^2−１）＝３／ｚ^2

　中心（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）から，この平面までの距離は

　　｜（３／２−ｔ）ｄ｜ｚ／√３

＝ｒとなることが確認された．

　これがｚ／２と等しくなるためには，

　　｜（３／２−ｔ）ｄ｜＝２／√３

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