【１】菱形六面体の計量

　菱形の対角線の長さを２ｄと２，１＜ｄ＜√３とします．この菱形の鋭角をθとおくと

　　ｔａｎ（θ／２）＝１／ｄ　→　θ＝２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ）

で表されます（６０°＜θ＜９０°）．

　また，菱形の鋭角が３つ集まって構成される頂点を原点として，この菱面格子の３つの基本ベクトルを

　　ａ↑＝（ｄ，１，０）

　　ｂ↑＝（ｄ，−１，０）

　　ｃ↑＝（ｘ，０，ｚ），ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１

とおきます．

　次に，ｘとｚをｄで表してみることにしましょう．

　　ａ↑・ｃ↑＝（ｄ^2＋１）ｃｏｓθ＝ｄｘ

より

　　ｘ＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓθ

　　　＝（ｄ^2＋１）／ｄｃｏｓ（２ａｒｃｔａｎ（１／ｄ））

　　　＝（ｄ^2−１）／ｄ

　　ｚ^2＝ｄ^2＋１−ｘ^2＝３−１／ｄ^2

　菱形六面体の８頂点は

　　（０，０，０），（２ｄ＋ｘ，０，ｚ）

　　（ｄ，１，０），（ｄ，−１，０），（２ｄ，０，０）

　　（ｘ，０，ｚ），（ｄ＋ｘ，１，ｚ），（ｄ＋ｘ，−１，ｚ）

ですが，このように菱形六面体の計量値はすべてパラメータｄを用いて表すことができます．

　また，この中心座標は（ｄ＋ｘ／２，０，ｚ／２）で与えられます．

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【２】菱形六面体の投影面のアスペクト比

［１］投影面１

　縦長は２，また，ａ↑＋ｂ↑＝（２ｄ，０，０）とｃ↑＝（ｘ，０，ｚ）のなす角をθとすると，

　　ｔａｎθ＝ｚ／ｘ

　　ｓｉｎθ＝ｚ／（ｘ^2＋ｚ^2）^1/2＝ｚ／（ｄ^2＋１）^1/2

　求める横長は，ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１より

　　２ｄｓｉｎθ＝２ｄｚ／（ｄ^2＋１）^1/2

［２］投影面２

　　縦長は２ｄｓｉｎθ，また，ａ↑＋ｂ↑＋ｃ↑＝（２ｄ＋ｘ，０，ｚ）とｃ↑＝（ｘ，０，ｚ）のなす角をθとすると，

　　（２ｄ＋ｘ）ｘ＋ｚ^2＝２ｄｘ＋ｘ^2＋ｚ^2＝｛（２ｄ＋ｘ）^2＋ｚ^2｝^1/2・｛ｘ^2＋ｚ^2｝^1/2ｃｏｓθθ

　求める横長は

　　｛（２ｄ＋ｘ）^2＋ｚ^2｝^1/2ｃｏｓθθ

＝（２ｄｘ＋ｘ^2＋ｚ^2）／｛ｘ^2＋ｚ^2｝^1/2

　ここで，

　　２ｄｘ＝２（ｄ^2−１）

　　ｘ^2＋ｚ^2＝ｄ^2＋１より，

　　｛（２ｄ＋ｘ）^2＋ｚ^2｝^1/2ｃｏｓθθ

＝（３ｄ^2−１）／（ｄ^2＋１）^1/2

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