【３】ｎ次元における最疎球被覆

　最疎球被覆であることが証明されているのは，１次元Ｚと２次元Ａ2の場合だけである．格子状球被覆に限れば，５次元まで証明されていて，Ａnの双対Ａn~が答えである．

　Ａn~の被覆密度は，外接球の半径が

　　Ｒ＝ｎ（ｎ＋２）／１２（ｎ＋１）

より，

　　Θ＝ｖn（ｎ＋１）^(1/2)｛ｎ（ｎ＋２）／１２（ｎ＋１）｝^(n/2)

で与えられることがわかっていて，

　　Ａ1~＝Ａ1 ＝Ｚ　　　Θ＝１　

　　Ａ2~＝Ａ2 　　　　　Θ＝１．２０９２　

　　Ａ3~＝Ｄ3~　　　　　Θ＝１．４６３５

　　Ａ4~　　　　　　　　Θ＝１．７６５５

　　Ａ5~　　　　　　　　Θ＝２．１２４３

　そして，２３次元以下ではＡn~が最疎球被覆配置であることが知られている．８次元では

　　Ａ8~　　　　　　　　Θ＝３．６６５５・・・

　　Ｅ8 　　　　　　　　Θ＝４．０５８７・・・(π^4/24)

であるが，２４次元では

　　Ａ24~ 　　　　　　　Θ＝６３．２６９・・・

　　Λ24　　　　　　　　Θ＝７．９０３５・・・((12π)^12/12!)

となり，Λ24のほうが疎である．

　Ａn~では次元が高くなると

　　（ｌｏｇ2Θn（ｎ））／ｎ〜ｌｏｇ2√（πｅ／６）＝０．２５４６

となり，最疎球被覆とはなり得ないことがわかる．

　Θの下界は単体的密度限界Ｄnで押さえられるから，

　　Θ≧Ｄn≧１

ここで，辺の長さが２の正単体の外接球の半径は

　　｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(1/2)

より，

　　Ｄn＝｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)ｄn

ｎ→∞のとき，

　　｛２ｎ／（ｎ＋１）｝^(n/2)→ｅ^(-1/2)２^(n/2)

より，

　　Ｄn　〜　ｎ／ｅ√ｅ

　したがって，下界については

　　Θ≧ｎ／ｅ√ｅ

上界については

　　Θ≦ｎｌｏｇeｎ＋ｎｌｏｇeｌｏｇeｎ＋５ｎ

が知られている．

　　ｎ／ｅ√ｅ≦Θ≦ｎｌｏｇeｎ＋ｎｌｏｇeｌｏｇeｎ＋５ｎ

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