【３】高次元空間の極大格子

　ここまでの話をまとめて表示しておくことにすると，

　　１）平面上に配置した格子点の最近接点間距離が最大値をとるときは，点の配置が正三角形の頂点に等間隔に配置するときであり，空間中の点については，点の配置が立方格子の格子線の交角を６０°になるようにゆがめたときである．

　　２）その際，グラミアンは

　　Ｇ＝｜ｄ^2　　ｄ^2／２｜＝（ｄ^2／２）^2｜２　１｜

　　　　｜ｄ^2／２　　ｄ^2｜　　　　　　　　｜１　２｜

　　　　｜ｄ^2　　ｄ^2／２　　ｄ^2／２｜　　　　　　　　｜２　１　１｜

　　Ｇ＝｜ｄ^2／２　　ｄ^2　　ｄ^2／２｜＝（ｄ^2／２）^3｜１　２　１｜

　　　　｜ｄ^2／２　　ｄ^2／２　　ｄ^2｜　　　　　　　　｜１　１　２｜

として得ることができる．

　もっとも稠密な格子状球配置を求める問題はより高次元の空間においても考えることができます．ところが，高次元空間においては，平面における正三角形格子や３次元空間における面心立方格子はもはや最密球配置を与えてはくれません．

　人間の直観や勘が働くのはたがだか３次元空間までで，次元が大きくなるに従い，格子点の配位は非常に複雑となり，われわれが３次元空間でイメージするものとは大きく異なってくるからです．そのため，ｎ次元に拡張したグラミアン

　　　　　　　　　　　｜２　１　・・　１｜

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜１　２　・・　１｜＝１＝Ｖ^2

　　　　　　　　　　　｜１　１　・・　１｜

　　　　　　　　　　　｜１　１　・・ ２｜

という手はもはや通用しないのですが，それではどうやったら高次元空間における極大格子を求めることができるのでしょうか？　実は，コラム「モザイク模様とルート系」で説明した鏡映三角形で埋めつくす問題を一般の次元に拡張してR^nにおける格子群を実際に構成するのです．

　R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．ルート系の分類は，それ自体大変面白いものなのだそうですが，既約ルート系の同型類には，ＡからＧまでのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっています．

　Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型のディンキン図形は，

　　　　　　３　　　　　　　　　１−２−３　　（Ａ3 ）

　　　　　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　１−２　　　（Ｄ4 ）　　　　　　　　４　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　＼ 　　　　　　　　　　　　 ｜　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　４　　　　　　　　　１−２−３−５−６−７−８　　（Ｅ8 ）

そして，ディンキン図形に基づいて，隣接行列の要素ｂijを，

　　それ自身のとき・・・・２

　　結ぶ辺があるとき・・・１

　　結ぶ辺がないとき・・・０

と定めます．

　これは，隣接行列｛ｂij｝が内積ｂi↑・ｂj↑からなるグラミアンによって定義され，その際，ｎ次元平行多面体の基底となるｎ個のベクトルｂkはすべて長さ√２，ｂiとｂjが隣り合うときは２つのベクトルは角度６０°で交わり（内積＝１），隣り合わないときは直交すること（内積＝０）を意味しています．

　そうすれば，Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型に対応する隣接行列式｜Ｂ｜は，それぞれ

　　｜２　１　０｜　　　｜２　１　０　０｜

　　｜１　２　１｜　　　｜１　２　１　１｜

　　｜０　１　２｜　　　｜０　１　２　０｜

　　　　　　　　　　　　｜０　１　０　２｜

　　｜２　１　０　０　０　０　０　０｜

　　｜１　２　１　０　０　０　０　０｜

　　｜０　１　２　１　１　０　０　０｜

　　｜０　０　１　２　０　０　０　０｜

　　｜０　０　１　０　２　１　０　０｜

　　｜０　０　０　０　１　２　１　０｜

　　｜０　０　０　０　０　１　２　１｜

　　｜０　０　０　０　０　０　１　２｜

で定義され，格子群の基本領域の体積Ｖと最短距離ｄは

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜Ｂ｜＝１＝Ｖ^2

より求められます．極大格子については，現在のところ，ｎ≦８のみ答えが知られています．

ｎ　　　ルート　　　最小距離　　　　　　　　　　　　　球充填密度

１　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　１

２　　　Ａ2　　　　4√（４／３） 　＝１．０７５　　　　０．９０６

３　　　Ａ3　　　　6√２　　　　 　＝１．１２２　　　　０．７４０

４　　　Ｄ4　　　　8√４　　　　 　＝１．１８９　　　　０．６１９

５　　　Ｄ5　　　　10√８　　　　　＝１．２３１　　　　０．４６５

６　　　Ｅ6　　　　12√（６４／３）＝１．２９０　　　　０．３７３

７　　　Ｅ7　　　　14√６４　　　　＝１．３４６　　　　０．２９５

８　　　Ｅ8　　　　√２　　　　　　＝１．４１４　　　　０．２５４

　最小距離が√２となるｎ＝８の場合が大変興味を惹かれます．７次元までの２次形式は単位行列から定まる２次形式

　　ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2

と同型になるのですが，ｎ＝８ではこの情勢が覆り，同型ではないからです．

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