「単位格子群の２つの格子点の間の最小距離ｄminを最大にする格子群（極大格子群）を求めよ」というミニマックス問題を設定してみます．この問題は「同じ半径の球をできるだけ稠密詰めるにはどうしたらよいか」という空間の球による充填問題と密接に関係しているのです．

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【１】平面における極大格子

　面積１の任意の平行四辺形を基本領域とする平面上の単位格子について考察してみることにしましょう．

　最小距離をｄとし，この距離を実現する格子点は（ｄ，０）としても一般性を失うことはありません．すると，もう一方の基底を（ｘ，１／ｄ）とすることができます．このとき，１／ｄは明らかに１辺ｄの正三角形の高さに等しくなければなりません．そうしないと（ｘ，１／ｄ）のほうが原点に近くなるからです．

　したがって，

　　１／ｄ≧ｄ／２√３

より，

　　ｄ≦4√（４／３）

が得られます．

　よって，極大格子は面積１／２の２つの正三角形を合わせた形の平行四辺形になりますが，この格子は与えられた最小距離に対して，面積のもっとも小さい基本平行四辺形です．

　このときのグラミアンＧを計算してみましょう．

　　Ｇ＝｜ｄ^2　　ｄ^2／２｜＝３／４ｄ^4＝１＝Ｓ^2

　　　　｜ｄ^2／２　　ｄ^2｜

よって，Ｓ＝１が確かめられます．

　基本領域の最小体積を決定する問題は，基本領域の中にある格子点の密度を最大にすること考えることができますから，これで，

　　「与えられた最小距離ともつすべての格子に中で，格子点密度のもっとも高いものは，正三角形格子である」

ことが証明されたことになります．

　実際にすべての格子点を中心として，この格子点の最小距離の半分を半径とする円を描いてみると，互いに接してはいるが決して重なり合わない最密円配置が得られます．この円配置の稠密度は

　　π／√１２＝０．９０７

と計算されます．

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　ガウスの定理より，格子点密度をδとすると，最小距離ｒが点の密度の平方根に逆比例するという結果は，直感的にも納得のいくものであろうと思われます．そこで，

　　ｒ＝ｑ√δ

の比例定数ｑについて，３通りある平面充填形〈正三角形，正方形，正六角形〉配置の場合でみてみましょう．

　ｑの値が最大値をとるのは，点が正三角形配置したときであって，その場合，格子の面積をｓとすれば，ｓ＝√３／４ｒ^2，また，格子には１／６×３＝１／２個の点が割り当てられる関係になりますから，δ＝２／√３ｒ^2より

　　ｑ＝１．０７４

が得られます．

　同様に正方形格子では，δ＝１／ｒ^2より

　　ｑ＝１

正六角形格子では，δ＝４／３√３ｒ^2より

　　ｑ＝０．８７７

となります．

　なお，

　　１）ランダム配置（ポアソン配置）であれば，ｑ＝Γ(3/2)／√π＝０．５となること

　　２）規則的な配置では，ｑの値は０．５より大きくなること

　　３）ｑの値が最大値をとるのは，点が正三角形配置したときであって，ｑ＝１．０７４となること

を付記しておきます．

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