【１】球面における最密充填と最疎被覆

　ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体では，３ｆ＝２ｅですから，

　　（ｖ，ｅ，ｆ）＝（ｎ，３ｎ−６，２ｎ−４）

すなわち，球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となります．

　一方，ｎ個の面をもつ３稜頂点多面体では，３ｖ＝２ｅであり，

　　（ｖ，ｅ，ｆ）＝（２ｎ−４，３ｎ−６，ｎ）

となります．これらは互いにもとの多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体であり，表と裏の関係にある双対多面体となっています．

　　ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６　　　ｎ≧３

を導入すると，球面上に大きさの等しい球帽を埋め込むときの充填密度はωnを用いて，

　　ｄ≦ｎ／２（１−１／２ｃｏｓｅｃωn）

球面が等大球帽で被覆されるときの被覆密度は

　　Ｄ≧ｎ／２（１−１／√３ｃｏｔωn）

なる不等式を満たすことが求められます．

　等号はｎ＝３，４，６，１２の場合のみ成立し，それぞれ円の中心が正三角形，正４面体，正８面体，正２０面体の頂点にくる場合に対応します．また，これらの不等式の上界・下界は，ｎの増加とともにそれぞれ平面における極限値

　　π／√１２，２π／√２７

に近づくことが示されます．

　なお，平面上において等大円を配置して，１個詰められるだけの隙間の存在しないように最も不経済な円配置（飽和した系）をつくることにすると，それは最疎な円被覆において，各円をその半分の半径の円によって置き換えることにより生じますから，その最疎密度は，

　　ｄ≧π／√１０８＝０．３０２・・・

になります．

　球面上において，同様の問題を考えると，球帽の最疎な飽和系では

　　ｄ≧１−√２／２＝０．２９２８９・・・

であり，等号は球面半径π／４をもち球の両極に位置する２つの球帽の場合に限り成立します．

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