ところで，３種類ある平面充填形は，空間充填形の退化したものと見なされます．実際，空間充填形である立方体の断面には，正三角形，正方形，正六角形が現れることから，そのことを理解することができます．それと同様にして，空間への凸多面体の分割は４次元胞体の退化したものと見なされます．菱形１２面体は４次元超立方体（あるいは正２４胞体）の３次元空間への投影，切頂８面体は６次元超立方体の投影として得られます．

　ここで，空間を体積が等しい凸多面体で，平均表面積ができるだけ小さくなるように分割せよという問題が生じます．この問題はかなり長い間，菱形１２面体による空間分割が解だと考えられていたのですが，これに対して，体積１のときの表面積を求めると，菱形１２面体型分割では

　　3√１０８√２＝５．３４５・・・

切頂８面体型分割では

　　３／４3√４（１＋√１２）＝５．３１４・・・

と後者の方が約０．５％少なくなることが，１８８７年，ケルビン卿によって発見されています．→コラム「ビールの泡と多面体」参照

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