ラグランジュの定理：どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．それでは，どんな自然数でも

　　Ａｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2

で書けるだろうか？

　すべての整数はＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形に表せるが，それは５４通りの組み合わせしかないことが知られている（ラマヌジャン）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ラマヌジャンのリスト（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）

　（１，１，１，１），（１，１，１，２），（１，１，１，３）

　（１，１，１，４），（１，１，１，５），（１，１，１，６）

　（１，１，１，７），（１，１，２，２），（１，１，２，３）

　（１，１，２，４），（１，１，２，５），（１，１，２，６）

　（１，１，２，７），（１，１，２，８），（１，１，２，９）

　（１，１，２，１０），（１，１，２，１１），（１，１，２，１２）

　（１，１，２，１３），（１，１，２，１４），（１，１，３，３）

　（１，１，３，４），（１，１，３，５），（１，１，３，６）

　（１，２，２，２），（１，２，２，３），（１，２，２，４）

　（１，２，２，５），（１，２，２，６），（１，２，２，７）

　（１，２，３，３），（１，２，３，４），（１，２，３，５）

　（１，２，３，６），（１，２，３，７），（１，２，３，８）

　（１，２，３，９），（１，２，３，１０），（１，２，４，４）

　（１，２，４，５），（１，２，４，６），（１，２，４，７）

　（１，２，４，８），（１，２，４，９），（１，１，２，９）

　（１，２，４，１０），（１，２，４，１１），（１，２，４，１２）

　（１，２，４，１３），（１，２，４，１４），（１，２，５，６）

　（１，２，５，７），（１，２，５，８），（１，２，５，９）

　（１，２，５，１０）

　どんな自然数でも

　　ｘ^2＋２ｙ^2＋３ｚ^2＋４ｗ^2

で書けるのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】まとめ

　それらは

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2からｘ^2＋２ｙ^2＋５ｚ^2＋１０ｗ^2まで

すべてＡｘ^2＋Ｂｙ^2＋Ｃｚ^2＋Ｄｗ^2の形をしていて，５４通りあることが知られている．

　４変数２次形式では，たとえば，

　　２ｗ^2＋３ｘ^2＋４ｙ^2＋５ｚ^2

は１だけを表すことができない．

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５だけを表すことができない．

　（２，３，４，５），（１，２，５，５）はラマヌジャンのリストには載っていない．ラマヌジャンのリストは２０世紀初頭，ラマヌジャンによって，コンピュータの助けなしに特定された．しかし，不備があって（１，２，５，５）も含められてしまった．

　　ｗ^2＋２ｘ^2＋５ｙ^2＋５ｚ^2

は１５をそして１５だけを表すことができないのである．

　また，（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）の少なくともひとつは１であるから（２，３，４，５）はリストに含まれないのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝