平行多面体のうち正多面体と同じ対称性をもつ立体は，プラトン立体では立方体，アルキメデス立体では切頂８面体，大菱形立方８面体，大菱形１２・２０面体，カタラン立体（アルキメデス双対）では菱形１２面体，菱形３０面体があります．また，これらの平行多面体から得られるねじれ立体には，正方形からは正４面体，切頂８面体からは正２０面体，大菱形立方８面体からはねじれ立方体，大菱形１２・２０面体からはねじれ１２面体がある．
ねじれ立方体，ねじれ１２面体のもとになる立体の１辺の長さをａ＝２とおいて，切稜パラメータをｘ，切頂パラメータを計算すると，
立方体 正十二面体
切稜パラメータｘ 0.456311 0.520868
切頂パラメータｙ 0.248091 0.268053
となった．
正多面体のある頂点から隣接する頂点までの距離のどのくらいを切稜，切頂するのか，その切稜率をｓ，切頂率をｔとおくと
ｓａ＝ｘ，ｔａ＝２ｘ＋ｙ （０≦ｓ≦０．５，０≦ｔ≦１）
ｘ＝ｓａ，ｙ＝（ｔ−２ｓ）ａ
であるから
立方体 正十二面体
切稜率ｓ 0.2281555 0.2604340
切頂率ｔ 0.5803565 0.6548945
と換算される．
今回のコラムでは，「ねじれ立方体」「ねじれ１２面体」の双対多面体である「５角２４面体」「５角６０面体」の頂点の座標や面の形，二面角などを求めてみることにする．
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【１】ねじれ立方体とその双対の計量
ねじれ立方体の構成する方法を考えてみよう．原点を中心とする辺の長さ２の立方体の各面に頂点（+/-ａ，+/-ｂ）（+/-ｂ，-/+ａ）の傾いた正方形があり，立方体の外から眺めたときつねに同じ向きになるように置く．したがって，傾いた正方形の頂点の座標は（ａ，ｂ，１）などとなる．
すると
ａ＝１−２ｓ
ｂ＝１＋２ｓ−２ｔ
と計算される．
(1)正方形面の頂点の座標：（ａ，ｂ，１）
そして，原点から頂点までの距離の２乗は
ａ^2＋ｂ^2＋１^2＝Ｒ^2
この頂点は［３，３，３，３，４］型であるが，正方形面の中心の座標と４つの正三角形面の中心の座標は，それぞれ
(2)正方形面の中心の座標：（０，０，１）
(3)正三角形面の中心の座標：
（ａ／３，（ａ＋ｂ＋１）／３，（ａ＋２）／３）＝（.18123,.613096,.847897）
（（ａ＋ｂ＋１）／３，（ａ＋ｂ＋１）／３，（ａ＋ｂ＋１）／３）＝（.613096,.613096,.613096）
（（ａ＋２）／３，ａ／３，（ａ＋ｂ＋１）／３）＝（.847897,.18123,.613096）
（（ａ＋ｂ＋１）／３，−ａ／３，（ａ＋２）／３）＝（.613096,-.18123,.847897）
外接球はｘ^2＋ｙ^2＋z^2＝Ｒ^2ですから，(1)正方形面の頂点（ａ，ｂ，１）における接平面は
ａ・ｘ＋ｂ・ｙ＋ｚ＝Ｒ^2
で与えられます．
したがって，外接球の中心から接平面上に(2),(3)を投影すると，それぞれ，
(2)→（０，０，Ｒ^2）＝（0,0,1.38298）
(3)→（ａＲ^2／ｃ，（ａ＋ｂ＋１）Ｒ^2／ｃ，（ａ＋２）Ｒ^2／ｃ）
ｃ＝ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＋ａ＋ｂ＋２，（.222263,.751909,1.03987）
(3)→（（ａ＋ｂ＋１）Ｒ^2／ｃ，（ａ＋ｂ＋１）Ｒ^2／ｃ，（ａ＋ｂ＋１）Ｒ^2／ｃ）
ｃ＝（ａ＋ｂ＋１）^2，（.751909,.751909,.751909）
(3)→（（ａ＋２）Ｒ^2／ｃ，ａＲ^2／ｃ，（ａ＋ｂ＋１）Ｒ^2／ｃ）
ｃ＝ａ^2＋ａｂ＋３ａ＋ｂ＋１，（1.03987,.222263,.751909）
(3)→（（ａ＋ｂ＋１）Ｒ^2／ｃ，−ａＲ^2／ｃ，（ａ＋２）Ｒ^2／ｃ）
ｃ＝ａ^2＋２ａ＋２，（.751909,-.222263,1.03987）
これで５角２４面体の頂点の座標が求められました．この５角形を白銀５角形と呼ぶことにしますが，白銀５角形の辺長(0.855856,0.602866)で辺長比は1.41965，内角は(114.812°×4,80.7517°)，二面角はすべて等しく136.309°と計算されます．
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【２】ねじれ１２面体とその双対の計量
もとになる立体の１辺の長さをａ，切稜パラメータをｘ，切頂パラメータをｙとおくと，２ｐ角形面と４角形面に挟まれる辺の長さは
ｂ＝ａ＋２ｘｃｏｓ（２π／ｐ）−２ｘ−２ｙ
２ｐ角形面と６角形面に挟まれる辺の長さは
ｃ＝２ｙｃｏｓ（π／ｐ）
４角形面と６角形面に挟まれる辺の長さは
ｄ＝２ｘｃｏｓ（π／ｐ）
で与えられる．
さらにこのことから，２ｐ角形面の対角線の長さの２乗は
f(x,y)=b^2+c^2-2bccos(π(p-1)/p))･････(1)
４角形面の対角線の長さの２乗は
g(x,y)=b^2+d^2･････(2)
６角形面の対角線の長さの２乗は
h(x,y)=c^2+d^2+cd･････(3)
で表される（余弦定理）．
この公式はねじれ立方体の場合も使えますが，ここではねじれ１２面体の場合を考えます．ねじれ１２面体では１辺の長さａの正１２面体の各面が１辺の長さ(1)^1/2=(2)^1/2=(3)^1/2の正五角形に縮み，その隙間を正三角形が埋めたものになっています．
ねじれ１２面体の座標計算には，正五角形面をｚ軸方向にして投影するか（コラム「凧型２４面体の黄金化と凧型６０面体の白銀化」参照）あるいは辺心図を用いるか（コラム「大菱形１２・２０面体，小菱形１２・２０面体の木工製作」参照）のいずれを採っても大変複雑になることは避けられそうにありません．
ここでは後者を採ることにします．すなわち，五角面の頂点の座標を
Ａ（０，１，ｄ）
Ｂ（−Ｄ，Ｄ，Ｄ）
Ｃ（−ｄ，０，１）
Ｄ（ｄ，０，１）
Ｅ（Ｄ，Ｄ，Ｄ）
ｄ＝（３−√５）／２＝２−φ
Ｄ＝（−１＋√５）／２＝φ−１
とおくものです．
すると
(1)正五角形の頂点の座標：（ａ，ｂ，ｃ）は
ａ＝φＤｓ＋ｄ（１−ｔ）−ｄｔ
ｂ＝Ｄｓ
ｃ＝１−ｓ＋Ｄｓ
そして，原点から頂点までの距離の２乗は
ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝Ｒ^2
と計算される．
この頂点は［３，３，３，３，５］型であるが，正五角形面の中心の座標と４つの正三角形面の中心の座標は，それぞれ
(2)正方形面の中心の座標：（0,447214,.723607）
(3)正三角形面の中心の座標：
（-.0920439,.0812632,.8834597）
（.0920439,-.0812632,.8834597）
（.318268,0,.833235）
（.347543,.23917,.785867）
また，外接球はｘ^2＋ｙ^2＋z^2＝Ｒ^2ですから，(1)正五角形面の頂点（ａ，ｂ，ｃ）における接平面は
ａ・ｘ＋ｂ・ｙ＋ｃ・ｚ＝Ｒ^2
で与えられます．
したがって，外接球の中心から接平面上に(2),(3)を投影すると，それぞれ，
(2)→（0,5296829,.857043）
(3)→（-.091554,.0875418,.951717）
(3)→（.091554,-.0875418,.951717）
(3)→（.342858,0,.897613）
(3)→（.374395,.257649,.846584）
これで５角６０面体の頂点の座標が求められました．この５角形を黄金５角形と呼ぶことにしますが，黄金５角形の辺長(0.462907,0.26454)で辺長比は1.74985，内角は(118.137°×4,67.4536°)，二面角はすべて等しく153.179°と計算されます．
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