まずはおさらいから．３ｖ＝ｐｆ，２ｅ＝ｐｆをオイラーの多面体定理に代入すると

　　ｐｆ／３−ｐｆ／２＋ｆ＝２

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

ですから，

　　ｖ＝ｐｆ／３＝４ｐ／（６−ｐ）

　　ｅ＝ｐｆ／２＝６ｐ／（６−ｐ）

　　ｐ＝６（ｆ−２）／ｆ

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６４

を代入すると

　　ｐ＝６（ｆ−２）／ｆ＝（２６＋２√３１３）／１２＝５．１１５３

　　ｖ＝２（１７＋√３１３）／３＝２３．１２８

　　ｅ＝１７＋√３１３＝３４．６９２

　　ｆ＝１３．５６４，ｖ＝２３．１２８，ｅ＝３４．６９２

すなわち，泡の平均の姿は２３．１２８個の頂点，３４．６９２本の辺，１３．５６４枚の面からなる面が５．１１５３角形の立体となることがわかります．平均的な泡細胞は１４面体に近いものになるというわけです．

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

ですから，ｐの近似値を

　　ｓｉｎ（π／ｐ）＝√（１／３）

　　ｃｏｓ（π／ｐ）＝√（２／３）

　　ｔａｎ（π／ｐ）＝√（１／２）

あるいは

　　ｐ＝２π／ａｒｃｃｏｓ（−１／３）

から，２次方程式の解として求められば

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６

を得ることができます．しかし，（その２）ではそのようなうまい方法が思いつきませんでした．

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【１】コクセターの論文

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６，ｐ＝５．１１５３

について調べているうちに，「最密充填と泡」に関するコクセターの論文：

　　Coxeter: Close packing and froth, Illinois Journal of Mathematics 2, 746-758 (1958)

にそのことが収載されていることがわかりました．

　また，当該の論文のリプリントがFORMA誌のケルビン問題特集号

　　Coxeter: Close packing and froth, FORMA 11(3), 271-285 (1996)

に再録されていることがわかりました．千場良治先生（仙台厚生病院）と松浦執先生（東海大学・形の科学会事務局）にお願いして取り寄せてみたところ，予想通り，

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６４

は２次方程式

　　３ｘ^2−４６ｘ＋７２＝０

の解に帰着されることがわかりました．

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【２】４次元正多胞体とシュレーフリ記号

　４次元正多胞体はシュレーフリ記号｛ｐ，ｑ，ｒ｝・・・各頂点にｐ角形がｑ面集まる多面体が各辺にｒ個集まる・・・で表記されるとします．

　３次元正多面体（ｐ，ｑ）を各辺のまわりにｒ個集めてできる４次元正多胞体の必要条件は，２面角のｒ倍が４直角未満ですから，正４面体（３，３）の２面角は７１°より少し小さいので，１本の辺に３，４，５個の正４面体を置くことができます→（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５）．

　立方体（４，３）の２面角は直角ですから，１本の辺のまわりに４個の立方体で隙間なく空間を充填します．しかし，（４，３，４）では無限の多面体になってしまいますから，超立方体（４，３，３）は有限胞体になります．

　正８面体と正１２面体の２面角は，９０°と１２０°の間にあるので，１辺の周囲には３個の正多面体が置けます→（３，４，３），（５，３，３）．正２０面体の２面角は１２０°より大きいので，このようなことはできません．

　すなわち，正４面体に対してはｒ＝２，３，４．正６，８，１２面体に対してはｒ＝３．正２０面体では許されないので，結局，正多胞体の可能性としては（３，３，３），（３，３，４），（３，３，５），（４，３，３），（３，４，３），（５，３，３）しかあり得ないことがわかります．

　以上の必要条件をまとめると

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

となります．そして，実際にこの６通りの正多胞体が構成できます．なお（４，３，４）は角の和がちょうど４直角となるので，３次元空間充填形です．

　そうすることによって，以下の結果が得られます（境界面ｐ，頂点に集まる面ｑ，辺に集まる胞ｒ）．

　　　　　　境界多面体　境界面ｐ　頂点に集まる面ｑ　辺に集まる胞ｒ

５胞体　　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　３

８胞体　　　立方体　　　　　４　　　　　　　　３　　　　　　　３

１６胞体　　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　４

２４胞体　　正８面体　　　　３　　　　　　　　４　　　　　　　３

１２０胞体　正１２面体　　　５　　　　　　　　３　　　　　　　３

６００胞体　正４面体　　　　３　　　　　　　　３　　　　　　　５

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【３】２次不等式

　前節ではｐ，ｑ，ｒに関する不等式

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　１／ｑ＋１／ｒ＞１／２　　　（ｑ，ｒ≧３）

が現れましたが，有限群であるという条件からさらに２次不等式

　　ｐ−４／ｐ＋２ｑ＋ｒ−４／ｒ＜１２

　　ｐ−４／ｐ＜１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ

　　ｐ^2−（１２−２ｑ−ｒ＋４／ｒ）ｐ−４＜０

が得られます．

　泡細胞の合胞体の場合，１個の頂点に３個の辺が集まり，１本の辺の周りに３個の泡細胞が合するというのが空間分割の局所条件ですから，ｑ＝ｒ＝３とおくと

　　ｐ^2−（１３／３）ｐ−４＜０

　　ｐ＜（１３＋√３１３）／６＝５．１１５３

これを

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

　　ｖ＝４ｐ／（６−ｐ）

　　ｅ＝６ｐ／（６−ｐ）

に代入すると

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６４

　　ｖ＝２（１７＋√３１３）／３＝２３．１２８

　　ｅ＝１７＋√３１３＝３４．６９２

になるというわけです．これにて一件落着．

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