Ｌ^2≧４πＳ　　　　　（２次元等周不等式）

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2　　　（３次元等周不等式）

をどんな次元にも適用できるように公式化してみましょう．

　半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となりますから，等周比を無次元化するために，

　　ｎ次元等周比＝表面積^n／体積^(n-1)

と定義すると，

　　ｎ次元等周比≧ｎ^nＶn＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)（＝Ｃn）

を得ることができます．等号は超球のときに限ります．

　この証明はＶn＝π^(n/2)/Γ(n/2+1)がｎ次元単位球の体積であることが理解できれば簡単です．ｎ次元等周比（Ｃn）において，とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，

　　Ｃ2＝４π

　　Ｃ3＝３６π

すなわち，

　　Ｌ^2≧４πＳ

　　Ｓ^3≧３６πＶ^2

になることがわかります．

　以下，

　　Ｃ4＝2^7π^2

　　Ｃ5＝8/3*5^4π^2

　　Ｃ6＝6^5π^3

　　・・・・・・・

となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝