【１】切頂立方体におけるＳ^3／Ｖ^2比の最小化

　　３Ｓ’Ｖ−２ＳＶ’＝０

より，Ｓ^3／Ｖ^2が最小値をとるｄを求めると

　　ｄ＝３−√３

となって，内接球をもつための条件と一致しました．したがって，等周比の点からいうと，内接球をもつ「切頂１４面体」が最も球に近いことになります．

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【２】切稜立方体におけるＳ^3／Ｖ^2比の最小化

　切稜１８面体はパラメータｄによってその形や表面積，体積が決定されます．

正方形面の頂点の座標：（ｄ／２，ｄ／２，１）

六角形面の頂点の座標：（ｄ／４＋１／２，ｄ／４＋１／２，ｄ／４＋１／２）

六角形面の中心の座標：（ｄ／４＋１／２，ｄ／４＋１／２，０）

ですから，

正方形面の面積：Ｓ4＝ｄ^2

六角形面の面積：Ｓ6＝（３ｄ／２＋１）（１−ｄ／２）／√２

また，

原点から正方形面の中心までの距離：Ｈ4＝１

六角形面の中心までの距離：Ｈ6＝（ｄ／４＋１／２）√２

　以上により

　　表面積：Ｓ＝６Ｓ4＋１２Ｓ6

　　　　　　　＝（６−９／√２）ｄ^2＋６√２ｄ＋６√２

　　　　　　　＝（２４−３６／√２）ｒ^2＋１２√２ｒ＋６√２

　　体積：Ｖ＝２Ｓ4Ｈ4＋４Ｓ6Ｈ6

　　　　　　＝−３／４ｄ^3＋３／２ｄ^2＋３ｄ＋２

　　　　　　＝−６ｒ^3＋６ｒ^2＋６ｒ＋２

が得られます（０≦ｄ≦２，０≦ｒ≦１）．

　　３Ｓ’Ｖ−２ＳＶ’＝０

より，Ｓ^3／Ｖ^2が最小値をとるｒを求めると

　　ｒ＝√２−１

となって，切稜１８面体が内接球をもつ条件と一致しました．したがって，等周比の点からいうと，内接球をもつ切稜１８面体が最も球に近いことになります．

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　なお，「切稜１８面体」においてもＳ^3／Ｖ^2が最小値をとる条件と内接球をもつ条件とが一致しましたが，このことは正多面体の切頂多面体，切稜多面体についても一般的にいえることなのかもしれません．確かめたわけではありませんが・・・

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